考研微积分系统复习大纲

第一部分 一元函数微积分

第1章 函数与极限

1.1 函数

• 1.1.1 函数的概念与性质
• 1.1.2 初等函数
• 1.1.3 函数的运算

1.2 极限

• 1.2.1 数列极限
• 1.2.2 函数极限
• 1.2.3 极限运算法则
• 1.2.4 极限存在准则
• 1.2.5 无穷小与无穷大

1.3 连续

• 1.3.1 连续的概念
• 1.3.2 间断点分类
• 1.3.3 闭区间连续函数性质

第2章 导数与微分

2.1 导数

• 2.1.1 导数的定义
• 2.1.2 导数的几何意义
• 2.1.3 求导法则
• 2.1.4 高阶导数

2.2 微分

• 2.2.1 微分的概念
• 2.2.2 微分公式
• 2.2.3 微分近似计算

第3章 微分中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

• 3.1.1 Rolle定理
• 3.1.2 Lagrange中值定理
• 3.1.3 Cauchy中值定理

3.2 导数的应用

• 3.2.1 L'Hospital法则
• 3.2.2 Taylor公式
• 3.2.3 函数单调性
• 3.2.4 函数极值
• 3.2.5 函数凹凸性

第4章 不定积分

4.1 不定积分概念

• 4.1.1 原函数与不定积分
• 4.1.2 基本积分表

4.2 积分方法

• 4.2.1 换元积分法
• 4.2.2 分部积分法
• 4.2.3 有理函数积分

第5章 定积分

5.1 定积分概念

• 5.1.1 定积分定义
• 5.1.2 定积分性质

5.2 微积分基本定理

• 5.2.1 变限积分函数
• 5.2.2 Newton-Leibniz公式

5.3 定积分应用

• 5.3.1 平面图形面积
• 5.3.2 旋转体体积
• 5.3.3 弧长计算

第二部分 多元函数微积分

第6章 多元函数微分学

6.1 多元函数基础

• 6.1.1 多元函数概念
• 6.1.2 多元函数极限
• 6.1.3 多元函数连续

6.2 偏导数

• 6.2.1 偏导数定义
• 6.2.2 高阶偏导数

6.3 全微分

• 6.3.1 全微分概念
• 6.3.2 可微条件

6.4 多元复合函数求导

• 6.4.1 链式法则
• 6.4.2 隐函数求导

第7章 多元函数积分学

7.1 二重积分

• 7.1.1 二重积分概念
• 7.1.2 二重积分计算

7.2 三重积分

• 7.2.1 三重积分概念
• 7.2.2 三重积分计算

7.3 曲线积分

• 7.3.1 第一类曲线积分
• 7.3.2 第二类曲线积分

7.4 曲面积分

• 7.4.1 第一类曲面积分
• 7.4.2 第二类曲面积分

第三部分 无穷级数与微分方程

第8章 无穷级数

8.1 数项级数

• 8.1.1 级数收敛概念
• 8.1.2 正项级数审敛法
• 8.1.3 任意项级数

8.2 幂级数

• 8.2.1 幂级数概念
• 8.2.2 幂级数展开

第9章 微分方程

9.1 一阶微分方程

• 9.1.1 可分离变量方程
• 9.1.2 齐次方程
• 9.1.3 线性方程

9.2 高阶微分方程

• 9.2.1 常系数线性方程
• 9.2.2 欧拉方程

高效学习工具与资源

学习工具

1. Anki - 制作记忆卡片辅助公式记忆
2. Wolfram Alpha - 强大的数学计算引擎
3. Desmos - 函数图形可视化工具

推荐资源

1. 《考研数学复习全书》 - 基础复习必备
2. MIT OpenCourseWare微积分课程 - 免费优质课程资源
3. 3Blue1Brown微积分本质系列 - 直观理解微积分概念

复习建议

1. 每周制作思维导图梳理知识体系
2. 建立错题本记录典型题目
3. 定期进行模拟测试检验学习效果