7.1.2 二重积分计算

一、基本计算方法

1. 直角坐标系下的计算

累次积分法（Fubini定理）：

  • X型区域（先y后x）：

    ∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy\iint_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y)dy

  • Y型区域（先x后y）：

    ∬Df(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx\iint_D f(x,y)dxdy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)dx

2. 极坐标系下的计算

适用于含x2+y2x^2+y^2、圆形/扇形区域：

∬Df(x,y)dxdy=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr\iint_D f(x,y)dxdy = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr

二、计算步骤

  1. 画图定区域：明确积分区域D的边界
  2. 选择坐标系：
    • 边界含圆/弧 → 极坐标
    • 边界为直线 → 直角坐标
  3. 确定积分限：
    • 直角坐标：找x/y的范围函数
    • 极坐标：找r/θ的范围
  4. 交换积分次序（必要时）：
    • 当原次序计算困难时
    • 需重新确定积分限

三、典型例题

例1（直角坐标）

计算 ∬Dxydxdy\iint_D xy dxdy，其中D由 y=xy=x, y=1y=1, x=2x=2 围成
解：

  1. 画图确定为X型区域
  2. 积分限：1≤x≤21 \leq x \leq 2, x≤y≤1x \leq y \leq 1

  3. ∫12dx∫x1xydy=98\int_1^2 dx \int_x^1 xy dy = \frac{9}{8}

例2（极坐标）

计算 ∬De−x2−y2dxdy\iint_D e^{-x^2-y^2}dxdy，D为单位圆
解：

  1. 转换为极坐标：x2+y2=r2x^2+y^2 = r^2
  2. 积分限：0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤r≤10 \leq r \leq 1

  3. ∫02πdθ∫01e−r2rdr=π(1−e−1)\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 e^{-r^2}rdr = \pi(1-e^{-1})

四、特殊技巧

  1. 对称性简化：

    • 奇偶性：若D关于y轴对称，f(−x,y)=−f(x,y)f(-x,y)=-f(x,y)则积分为0
    • 轮换对称性：若D关于y=xy=x对称，则∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_D f(y,x)dxdy

  2. 分段积分法： 当被积函数有分段定义时，需分割积分区域

五、常见错误警示

  1. 极坐标漏乘rr（雅可比行列式）
  2. 积分限确定错误（建议先画图）
  3. 错误判断对称性导致计算错误
  4. 积分次序选择不当导致计算复杂化

六、练习题

  1. 计算 ∬D(x+y)dxdy\iint_D (x+y)dxdy，D由 y=x2y=x^2, y=4x2y=4x^2, y=1y=1 围成
  2. （极坐标练习）计算 ∬D4−x2−y2dxdy\iint_D \sqrt{4-x^2-y^2}dxdy，D为x2+y2≤1x^2+y^2 \leq 1

提示：练习1需分两个子区域计算，练习2注意被积函数的定义域


该内容包含：
1. 完整的计算方法和公式
2. 分步骤的解题指导
3. 典型例题解析
4. 实用计算技巧
5. 常见错误提醒
6. 配套练习题
符合考研数学的深度要求，同时保持Markdown格式规范。
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