5.1.1 定积分定义

一、定积分的引入背景

定积分起源于求解两类经典问题：

1. 曲边梯形面积问题：求由连续曲线y=f(x)≥0、x轴及直线x=a、x=b所围成的图形面积
2. 变速直线运动路程问题：已知速度函数v(t)，求物体在时间区间[a,b]内经过的路程

二、定积分的精确定义

设函数f(x)在[a,b]上有界：

1. 分割：任意取分点a=x₀<x₁<...<xₙ=b，将区间分成n个子区间Δxᵢ=xᵢ-xᵢ₋₁
2. 取点：在每个子区间[xᵢ₋₁,xᵢ]上任取一点ξᵢ
3. 求和：作积分和式Sₙ=Σf(ξᵢ)Δxᵢ（i=1→n）
4. 取极限：当最大子区间长度λ=max{Δxᵢ}→0时，若极限limSₙ存在且与分割、取点方式无关

则称f(x)在[a,b]上可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分，记作： ∫[a→b]f(x)dx = limΣf(ξᵢ)Δxᵢ

三、定积分的几何意义

• 当f(x)≥0时：表示曲边梯形的面积
• 当f(x)≤0时：表示曲边梯形面积的相反数
• 一般情况：表示x轴上方图形面积与下方图形面积的代数和

四、可积的充分条件

1. 闭区间上的连续函数必可积
2. 只有有限个间断点的有界函数可积
3. 单调有界函数必可积

五、定积分与不定积分的区别

六、典型例题

例题1：用定义计算∫[0→1]x²dx 解：

1. 取n等分，Δxᵢ=1/n，取ξᵢ=i/n
2. 积分和Sₙ=Σ(i/n)²·(1/n)=(1/n³)Σi²
3. 利用公式Σi²=n(n+1)(2n+1)/6
4. 取极限得原式=lim[1/6(1+1/n)(2+1/n)]=1/3

例题2：证明Dirichlet函数在[0,1]上不可积 证： 取有理点ξᵢ时Sₙ=1，取无理点ξᵢ时Sₙ=0，极限不唯一，故不可积

补充说明：实际教学中建议配合绘制以下图示：
1. 曲边梯形面积的分割示意图
2. 积分和的几何解释图
3. 不同函数可积性的对比示例图

建议学生通过Matlab/Python等工具实现数值积分演示，直观理解"分割-近似-求和-取极限"的过程。