7.1.1 二重积分概念

一、定义与几何意义

1. 定义

设函数 ( f(x,y) ) 在有界闭区域 ( D ) 上有定义：

  1. 分割：将 ( D ) 任意分成 ( n ) 个小区域 ( \Delta \sigma_i )（面积）
  2. 取点：在每个 ( \Delta \sigma_i ) 上任取一点 ( (\xi_i, \eta_i) )
  3. 求和：作和式 ( \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i )
  4. 取极限：当最大直径 ( \lambda \to 0 ) 时，若极限存在，则称： [ \iint_D f(x,y) , d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i ]

2. 几何意义

  • 当 ( f(x,y) \geq 0 ) 时，表示以 ( D ) 为底、曲面 ( z=f(x,y) ) 为顶的曲顶柱体体积
  • 当 ( f(x,y) ) 有正有负时，表示体积的代数和

二、存在条件

  1. 充分条件：

    • ( f(x,y) ) 在 ( D ) 上连续
    • 或 ( f(x,y) ) 在 ( D ) 上有界且间断点为零测集

  2. 必要条件：

    • ( f(x,y) ) 在 ( D ) 上有界

三、基本性质

性质数学表达
线性性( \iint_D [\alpha f + \beta g] , d\sigma = \alpha \iint_D f , d\sigma + \beta \iint_D g , d\sigma )
区域可加性若 ( D = D_1 \cup D_2 ) 且 ( D_1 \cap D_2 = \emptyset )，则 ( \iint_D f , d\sigma = \iint_{D_1} f , d\sigma + \iint_{D_2} f , d\sigma )
保号性若 ( f(x,y) \leq g(x,y) )，则 ( \iint_D f , d\sigma \leq \iint_D g , d\sigma )
积分中值定理存在 ( (\xi, \eta) \in D ) 使 ( \iint_D f , d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma(D) )

四、特殊情形处理

  1. 对称性简化：

    • 关于 ( x ) 轴对称：若 ( f(x,-y) = f(x,y) )，则积分区域可减半
    • 关于 ( y ) 轴对称：若 ( f(-x,y) = f(x,y) )，同理
    • 轮换对称性：若 ( D ) 关于 ( y=x ) 对称，则 ( \iint_D f(x,y) , d\sigma = \iint_D f(y,x) , d\sigma )

  2. 奇偶性：

    • 若 ( f(-x,y) = -f(x,y) ) 且 ( D ) 关于 ( y ) 轴对称，则积分为零

五、典型例题

例题1（定义理解）

计算 ( \iint_D (x+y) , d\sigma )，其中 ( D = [0,1] \times [0,1] )

解： [ \int_0^1 \int_0^1 (x+y) , dx dy = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} + y \right) dy = 1 ]

例题2（对称性应用）

计算 ( \iint_D xy , d\sigma )，其中 ( D ) 为单位圆 ( x^2 + y^2 \leq 1 )

解： 由对称性知积分值为 0（因 ( xy ) 关于 ( x ) 和 ( y ) 均为奇函数）

六、常见误区

  1. 混淆二重积分与累次积分的区别
  2. 错误判断函数的对称性导致计算错误
  3. 忽略积分区域边界点是否包含在定义域内

该内容包含：
1. 严格的定义表述
2. 几何直观解释
3. 完整的性质总结表格
4. 对称性等计算技巧
5. 典型例题示范
6. 常见错误提醒
符合考研数学的深度要求，同时保持逻辑清晰性。
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