1.3.1 连续的概念

一、函数连续的定义

1. 点连续

设函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的某邻域内有定义，若满足： [ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) ] 则称 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 处连续。

等价定义（ε-δ语言）： ∀ε>0，∃δ>0，当 ( |x-x_0|<δ ) 时，有 ( |f(x)-f(x_0)|<ε )。

2. 区间连续

若函数在区间 I 内每一点都连续，则称：

  • 在开区间 (a,b) 连续
  • 在闭区间 [a,b] 连续需额外满足： [ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a), \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) ]

二、连续性的判定方法

1. 初等函数连续性定理

所有基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。

2. 连续性运算法则

若 ( f(x), g(x) ) 在 ( x_0 ) 连续，则下列函数在 ( x_0 ) 也连续：

  • ( f(x) \pm g(x) )
  • ( f(x) \cdot g(x) )
  • ( \frac{f(x)}{g(x)} )（要求 ( g(x_0) \neq 0 )）
  • 复合函数 ( f(g(x)) )（要求 ( g(x_0) ) 在 ( f ) 的定义域内）

三、典型例题

例题1（分段函数连续性判定）

讨论函数在 ( x=0 ) 处的连续性： [ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \ 1, & x = 0 \end{cases} ]

解：

  1. 计算极限：( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )
  2. 函数值：( f(0) = 1 )
  3. 因极限值=函数值，故连续。

例题2（复合函数连续性）

设 ( f(x) = \frac{1}{x-1} )，( g(x) = \sqrt{x} )，讨论 ( f \circ g ) 的连续区间。

解：

  1. 复合函数 ( f(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{x}-1} )
  2. 定义域要求：( x \geq 0 ) 且 ( \sqrt{x} \neq 1 )
  3. 连续区间：( [0,1) \cup (1,+\infty) )

四、常见考点总结

考点类型典型问题解决方法
定义验证证明函数在某点连续ε-δ语言/极限值=函数值
参数确定含参函数连续求参数建立极限方程求解
间断点分析判断连续性（前置考点）计算左右极限与函数值

五、易错点提醒

  1. 混淆"函数在点连续"与"函数在邻域连续"的概念
  2. 忽略分段函数在分段点的连续性验证
  3. 复合函数连续性判断时遗漏定义域限制

注：连续性是微分学的基础，后续微分中值定理等均以连续性为前提条件。


该内容包含：
1. 严格数学定义（两种等价形式）
2. 判定方法（初等函数定理+运算法则）
3. 典型例题（含详细解析步骤）
4. 考点总结表格
5. 学习注意事项
6. 与后续知识的关联说明
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