9.2.1 常系数线性方程

基本概念

定义：形如

y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = f(x)

的方程称为n阶常系数线性微分方程，其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 为常数。

当 $f(x) \equiv 0$ 时称为齐次方程
当 $f(x) \not\equiv 0$ 时称为非齐次方程

齐次方程解法

特征方程法

写出特征方程： $r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0$
求特征根 $r_1,r_2,...,r_n$
根据特征根情况写出通解：

特征根类型	对应通解项
单实根 $r$	$Ce^{rx}$
k重实根 $r$	$(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k-1})e^{rx}$
单复根 $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$
k重复根 $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x}[(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k-1})\cos\beta x + (D_1 + D_2x + \cdots + D_kx^{k-1})\sin\beta x]$

非齐次方程解法

常数变易法

适用于任意形式的 $f(x)$ ，但计算较复杂。

待定系数法

适用于特定形式的 $f(x)$ ：

$f(x)$ 形式	特解形式假设
$P_m(x)e^{ax}$	$y^* = x^kQ_m(x)e^{ax}$
$e^{ax}[P_m(x)\cos bx + Q_n(x)\sin bx]$	$y^* = x^ke^{ax}[R_l(x)\cos bx + S_l(x)\sin bx]$

其中：

$k$ 为 $a$ （或 $\alpha + \beta i$ ）在特征方程中的重数
$l = \max(m,n)$
$Q_m(x), R_l(x), S_l(x)$ 为待定多项式

解题步骤

求对应齐次方程的通解 $Y(x)$
用适当方法求非齐次方程的特解 $y^*(x)$
通解为 $y(x) = Y(x) + y^*(x)$

典型例题

例题1：求 $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ 的通解
解：

特征方程 $r^2 - 4r + 4 = 0$ ⇒ $r=2$ （二重根）
齐次通解 $Y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$
设特解 $y^* = Ax^2e^{2x}$ ，代入原方程确定 $A=\frac{1}{2}$
通解 $y = (C_1 + C_2x + \frac{1}{2}x^2)e^{2x}$

常见错误警示

混淆特征根的重数与特解形式中的 $k$ 值
对三角函数形式的 $f(x)$ 漏掉正弦或余弦项
忘记特解要乘以 $x^k$ 当特征根与指数项相同
二阶以上方程的特征方程求解错误

考研重点题型

求解二阶常系数非齐次线性方程
结合初值问题求特解
物理应用问题（如振动方程）
与其他章节综合（如幂级数解法）

记忆口诀

"特征方程求根忙，
单重多重要分清。
非齐特解看右边，
指数三角多项式。
若与特征根相同，
记得乘x不能忘。"