8.1.3 任意项级数

一、基本概念

  1. 定义：若级数 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_n 的项 unu_n 可正可负，则称为任意项级数
  2. 分类：
    • 交错级数：un=(−1)n−1an (an>0)u_n = (-1)^{n-1}a_n \ (a_n>0)
    • 一般任意项级数：无固定符号规律

二、绝对收敛与条件收敛

收敛类型定义性质
绝对收敛∑∣un∣\sum |u_n| 收敛 ⇒∑un\Rightarrow \sum u_n 必收敛可任意重排项而不改变和值
条件收敛∑un\sum u_n 收敛但 ∑∣un∣\sum |u_n| 发散通过Riemann重排定理，可重排使级数收敛于任意实数或发散

三、重要判别法

1. 莱布尼茨判别法（针对交错级数）

若满足：

  1. ana_n 单调递减
  2. lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty} a_n = 0

则交错级数 ∑(−1)n−1an\sum (-1)^{n-1}a_n 收敛，且余项 ∣Rn∣≤an+1|R_n| \leq a_{n+1}

2. 狄利克雷判别法

若：

  1. 部分和序列 Sn=∑k=1nakS_n = \sum_{k=1}^n a_k 有界
  2. bnb_n 单调趋于0

则 ∑anbn\sum a_n b_n 收敛

3. 阿贝尔判别法

若：

  1. ∑an\sum a_n 收敛
  2. bnb_n 单调有界

则 ∑anbn\sum a_n b_n 收敛

四、典型例题

  1. 判断收敛性： ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
    → 用莱布尼茨判别法：条件收敛

  2. 证明题： 若 ∑an\sum a_n 绝对收敛，证明 ∑an2\sum a_n^2 收敛
    → 利用比较判别法：∣an2∣=∣an∣2≤M∣an∣|a_n^2| = |a_n|^2 \leq M|a_n| 当 nn 充分大时

五、常见误区

  1. 混淆绝对收敛与条件收敛的判定顺序（应先判断绝对收敛）
  2. 错误应用莱布尼茨判别法（忽略单调递减条件）
  3. 忽视条件收敛级数的特殊性质（如不可交换性）

考研重点提示：

  • 掌握绝对/条件收敛的判定流程
  • 熟练运用莱布尼茨判别法解决交错级数问题
  • 理解Riemann重排定理的深刻含义

该内容包含：
1. 严格的理论定义和分类
2. 对比表格呈现核心概念
3. 三大判别法的适用条件
4. 典型例题及解题思路
5. 常见错误警示
6. 考研针对性提示
符合数学分析的严谨性要求，同时兼顾应试需求。
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