1.3.2 间断点分类

一、间断点的定义

设函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的某去心邻域内有定义，若满足以下任一条件：

  1. 在 ( x_0 ) 处无定义
  2. (\lim\limits_{x \to x_0} f(x)) 不存在
  3. (\lim\limits_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0))（即使 ( f(x_0) ) 有定义）

则称 ( x_0 ) 为函数 ( f(x) ) 的间断点。

二、间断点的分类

根据极限存在情况，间断点可分为两大类：

1. 第一类间断点（左右极限均存在）

  • 可去间断点：

    • 特征：(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)) 存在但不等于 ( f(x_0) )（或 ( f(x_0) ) 无定义）
    • 例子：( f(x) = \frac{\sin x}{x} ) 在 ( x=0 ) 处（补充定义 ( f(0)=1 ) 后连续）

  • 跳跃间断点：

    • 特征：(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x))
    • 例子：( f(x) = \begin{cases} x+1, & x \geq 0 \ x-1, & x < 0 \end{cases} ) 在 ( x=0 ) 处

2. 第二类间断点（至少一侧极限不存在）

  • 无穷间断点：

    • 特征：至少一侧极限为无穷
    • 例子：( f(x) = \frac{1}{x} ) 在 ( x=0 ) 处

  • 振荡间断点：

    • 特征：极限振荡不存在
    • 例子：( f(x) = \sin\frac{1}{x} ) 在 ( x=0 ) 处

三、判断流程图

graph TD
    A[判断f(x)在x0处是否有定义] -->|无定义| B[必然间断]
    A -->|有定义| C[计算左右极限]
    C --> D{左右极限是否都存在且相等?}
    D -->|是| E[判断是否等于f(x0)]
    E -->|是| F[连续点]
    E -->|否| G[可去间断点]
    D -->|存在但不相等| H[跳跃间断点]
    D -->|至少一侧不存在| I[第二类间断点]

四、典型例题分析

例题1

判断 ( f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} ) 在 ( x=1 ) 处的间断类型

解：

  1. 函数在 ( x=1 ) 处无定义 → 间断点
  2. (\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2) 存在
  3. 属第一类可去间断点

例题2

分析 ( f(x) = e^{1/x} ) 在 ( x=0 ) 处的间断类型

解：

  1. (\lim\limits_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty)
  2. (\lim\limits_{x \to 0^-} e^{1/x} = 0)
  3. 右极限为无穷 → 第二类无穷间断点

五、考研重点提示

  1. 分段函数在分段点处的连续性判断（特别注意分段函数定义）
  2. 复合函数间断点的传递性分析
  3. 与极限计算结合的综合性题目（常出现在选择题中）
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