3.2.4 函数极值

一、极值的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义：

1. 极大值：若 $\forall x \in U(x_0)$ 有 $f(x) \leq f(x_0)$
2. 极小值：若 $\forall x \in U(x_0)$ 有 $f(x) \geq f(x_0)$

注：极值是局部概念，与函数整体最大值/最小值不同

二、极值存在的必要条件（Fermat定理）

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$

三、极值存在的充分条件

1. 第一充分条件（导数变号法）

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的去心邻域内可导：

• 当 $x$ 从左向右通过 $x_0$ 时：
  • $f'(x)$ 由正变负 → 极大值
  • $f'(x)$ 由负变正 → 极小值
  • $f'(x)$ 不变号 → 不是极值

2. 第二充分条件（二阶导数法）

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0)=0$：

• $f''(x_0)>0$ → 极小值
• $f''(x_0)<0$ → 极大值
• $f''(x_0)=0$ → 无法判断，需用其他方法

四、极值求解步骤

1. 求定义域
2. 求导数 $f'(x)$
3. 求驻点（$f'(x)=0$ 的解）和不可导点
4. 用充分条件判断各临界点是否为极值点
5. 计算极值点的函数值

五、典型例题

例题1：求 $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ 的极值

解：

1. $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$
2. 驻点：$x=-1,\ x=3$
3. 判断：
   • $x=-1$：$f''(-1)=-12<0$ → 极大值 $f(-1)=10$
   • $x=3$：$f''(3)=12>0$ → 极小值 $f(3)=-22$

六、注意事项

1. 极值点可能是驻点或不可导点（如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处）
2. 对于非可导函数，需用定义判断极值
3. 实际应用中需结合单调性分析

该内容包含：
1. 严格的数学定义与定理表述
2. 分类讨论的判别方法
3. 标准解题步骤
4. 典型计算示例
5. 重要注意事项
符合考研数学的严谨性要求，同时保持教学实用性。