7.2.2 三重积分计算

一、基本概念

三重积分是二元函数积分在三维空间的推广，表示函数在空间区域Ω上的积分和：

$$\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \,dV$$

二、计算方法

1. 直角坐标系下的计算

投影法（先一后二法）：

1. 将Ω投影到xy平面得区域D
2. 确定z的上下限函数z₁(x,y)和z₂(x,y)
3. 计算公式：

$$\iiint\limits_{\Omega} = \iint\limits_D \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz \right] dxdy$$

截面法（先二后一法）：

1. 用平行于xy平面的平面截Ω得截面D(z)
2. 计算公式：

$$\iiint\limits_{\Omega} = \int_a^b \left[ \iint\limits_{D(z)} f(x,y,z) dxdy \right] dz$$

2. 柱坐标系下的计算

适用于具有柱对称性的区域：

$$\begin{cases} x = r\cosθ \\ y = r\sinθ \\ z = z \end{cases}, \quad dV = r\,dr\,dθ\,dz$$

计算步骤：

1. 确定r,θ,z的变化范围
2. 将被积函数转换为柱坐标形式
3. 计算公式：

$$\iiint\limits_{\Omega} = \int_{θ_1}^{θ_2} \int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)} \int_{z_1(r,θ)}^{z_2(r,θ)} f(r,θ,z) r\,dz\,dr\,dθ$$

3. 球坐标系下的计算

适用于具有球对称性的区域：

$$\begin{cases} x = ρ\sinφ\cosθ \\ y = ρ\sinφ\sinθ \\ z = ρ\cosφ \end{cases}, \quad dV = ρ^2\sinφ\,dρ\,dφ\,dθ$$

计算步骤：

1. 确定ρ,φ,θ的变化范围
2. 将被积函数转换为球坐标形式
3. 计算公式：

$$\iiint\limits_{\Omega} = \int_{θ_1}^{θ_2} \int_{φ_1}^{φ_2} \int_{ρ_1(θ,φ)}^{ρ_2(θ,φ)} f(ρ,θ,φ) ρ^2\sinφ\,dρ\,dφ\,dθ$$

三、典型例题

例题1（直角坐标系）

计算 $\iiint\limits_{\Omega} z\,dV$，其中Ω由平面z=0, z=y, y=1及柱面y=x²围成。

解：

1. 投影区域D：-1≤x≤1, x²≤y≤1
2. z的范围：0≤z≤y
3. 计算：

$$\int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 \int_0^y z\,dz\,dy\,dx = \frac{4}{21}$$

例题2（柱坐标系）

计算 $\iiint\limits_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2}\,dV$，Ω为圆柱x²+y²≤1, 0≤z≤2。

解：

1. 转换极坐标：0≤r≤1, 0≤θ≤2π, 0≤z≤2
2. 计算：

$$\int_0^{2π} \int_0^1 \int_0^2 r \cdot r\,dz\,dr\,dθ = \frac{4π}{3}$$

四、注意事项

1. 坐标系选择优先顺序：球坐标系 > 柱坐标系 > 直角坐标系
2. 对称性利用：
   • 奇偶性简化计算
   • 轮换对称性（如x,y,z对称时可简化）
3. 积分限确定是关键，建议先画区域示意图

五、常见错误

1. 遗漏体积元素中的r或ρ²sinφ项
2. 积分限确定错误（特别是球坐标的φ范围）
3. 错误使用对称性导致计算结果偏差

该内容包含：
1. 完整的理论体系框架
2. 三种坐标系下的详细计算方法
3. 典型例题演示
4. 实用注意事项和常见错误提示
5. 规范的数学公式排版
6. 层次分明的Markdown结构