6.4.2 隐函数求导

一、基本概念

  1. 隐函数定义
    由方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定的函数关系 y=f(x)y=f(x) 称为隐函数。例如 x2+y2−1=0x^2 + y^2 -1 =0 表示单位圆的隐函数。

  2. 显函数与隐函数区别

    • 显函数：直接表示为 y=f(x)y=f(x) 形式（如 y=sin⁡x)y=\sin x)
    • 隐函数：通过方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 间接定义

二、求导方法

方法1：直接求导法

对方程两边同时关于 xx 求导，注意 yy 是 xx 的函数：

ddxF(x,y)=0\frac{d}{dx}F(x,y) = 0

示例：
求 x2+y2=1x^2 + y^2 =1 的导数
解：

  1. 两边对 xx 求导：2x+2ydydx=02x + 2y \frac{dy}{dx} =0
  2. 解出 dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

方法2：公式法

若 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定 yy 关于 xx 的函数，则：

dydx=−FxFy(Fy≠0)\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \quad (F_y \neq 0)

其中 FxF_x, FyF_y 分别表示 FF 对 xx, yy 的偏导数。

三、多元隐函数求导

对于方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定的隐函数 z=z(x,y)z=z(x,y)：

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz(Fz≠0)\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \neq 0)

示例：
求由 x2+y2+z2−3xyz=0x^2 + y^2 + z^2 -3xyz=0 确定的 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}
解：

  1. 计算偏导数：Fx=2x−3yzF_x=2x-3yz, Fz=2z−3xyF_z=2z-3xy
  2. 代入公式：∂z∂x=−2x−3yz2z−3xy\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x-3yz}{2z-3xy}

四、典型例题

  1. 基础题
    求 exy+sin⁡(x+y)=1e^{xy} + \sin(x+y) =1 的 dydx\frac{dy}{dx}

  2. 应用题
    已知 z=z(x,y)z=z(x,y) 由方程 ln⁡z=xyz\ln z = xyz 确定，求 ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}

五、注意事项

  1. 求导前需确认方程满足隐函数存在定理条件
  2. 对多元隐函数求偏导时，需明确哪个变量是函数
  3. 当 Fy=0F_y=0 或 Fz=0F_z=0 时公式法失效，需改用其他方法

六、常见错误

  1. 忘记 yy 是 xx 的函数导致漏项（如对 y2y^2 求导未乘 y′y'）
  2. 混淆偏导与全导符号
  3. 公式法分母为零时仍机械套用

考研点睛：隐函数求导常与微分方程、极值问题结合考查，需熟练掌握公式法和直接法的灵活运用。


该内容包含：
1. 理论定义与公式推导
2. 单变量与多变量情况的对比
3. 典型例题分类
4. 易错点提醒
5. 考研应用提示
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