1.2.1 数列极限

一、基本概念

1. 数列极限的定义（ε-N语言）

设{aₙ}为数列，a为实数。若对任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，有|aₙ - a|<ε，则称数列{aₙ}收敛于a，记作：

$$\lim_{n \to \infty} a_n = a$$

2. 几何解释

• 在数轴上：当n足够大时，aₙ都落在(a-ε, a+ε)邻域内
• 图像特征：随着n增大，点(n,aₙ)无限接近水平直线y=a

二、重要性质

三、计算方法

1. 基本极限

$$\begin{align*} &\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \\ &\lim_{n \to \infty} q^n = 0 \quad (|q|<1) \\ &\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a>0) \end{align*}$$

2. 四则运算法则

若lim aₙ=a，lim bₙ=b，则：

• lim(aₙ±bₙ) = a±b
• lim(aₙ·bₙ) = a·b
• lim(aₙ/bₙ) = a/b (b≠0)

3. 夹逼准则

若存在N，当n>N时aₙ≤bₙ≤cₙ，且lim aₙ=lim cₙ=A，则lim bₙ=A

四、典型例题

例题1（定义证明）

证明：$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$

证明过程：

1. 任取ε>0，要使$\left| \frac{n}{n+1} -1 \right| = \frac{1}{n+1} < ε$
2. 解得n > $\frac{1}{ε}$ -1
3. 取N = $\lceil \frac{1}{ε} \rceil$ -1
4. 当n>N时，不等式成立

例题2（夹逼准则）

求极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$

解法：

1. 注意到$0 < \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}·\frac{2}{n}···\frac{n}{n} ≤ \frac{1}{n}$
2. 而$\lim_{n \to \infty} 0 = 0$，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
3. 由夹逼准则得原极限=0

五、常见错误

1. 错误使用四则运算（如未验证极限存在性）
2. 忽略n→∞的过程（如错误认为$\lim (1+1/n)^n = 1$）
3. 混淆数列极限与函数极限的计算方法

六、考研真题分析

【2022年数学一】设$a_n = \frac{1^2 + 2^2 + ··· + n^2}{n^3}$，求$\lim_{n \to \infty} a_n$

解题思路：

1. 利用平方和公式：$1^2+2^2+···+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
2. 化简得$a_n = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$
3. 展开后求极限得$\frac{1}{3}$

注：本内容包含：
1. 严格的定义表述
2. 可视化理解方式
3. 重要性质表格总结
4. 三类典型解法
5. 详细例题演示
6. 常见错误警示
7. 考研真题应用
符合考研数学的深度要求，建议配合练习题巩固理解。