2.2.2 微分公式

基本微分公式表

1. 常数函数

   $$d(C) = 0 \quad (C为常数)$$

2. 幂函数

   $$d(x^n) = nx^{n-1}dx \quad (n \neq 0)$$

3. 指数函数

   $$d(a^x) = a^x \ln a \, dx \quad (a>0, a\neq1)$$

   特例：

   $$d(e^x) = e^x dx$$

4. 对数函数

   $$d(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}dx \quad (a>0, a\neq1)$$

   特例：

   $$d(\ln x) = \frac{1}{x}dx$$

5. 三角函数

   • $$d(\sin x) = \cos x \, dx$$

   • $$d(\cos x) = -\sin x \, dx$$

   • $$d(\tan x) = \sec^2 x \, dx$$

   • $$d(\cot x) = -\csc^2 x \, dx$$

微分四则运算法则

设$u=u(x)$，$v=v(x)$可微，则：

1. 和差法则

   $$d(u \pm v) = du \pm dv$$

2. 数乘法则

   $$d(Cu) = Cdu \quad (C为常数)$$

3. 乘积法则

   $$d(uv) = vdu + udv$$

4. 商法则

   $$d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2} \quad (v \neq 0)$$

复合函数微分法则（链式法则）

若$y=f(u)$，$u=g(x)$可微，则：

$$dy = f'(u)g'(x)dx = f'(u)du$$

典型例题

例1 求函数$y=x^3e^{2x}$的微分

解：
使用乘积法则：

$$\begin{align*} dy &= d(x^3 \cdot e^{2x}) \\ &= e^{2x}d(x^3) + x^3d(e^{2x}) \\ &= e^{2x} \cdot 3x^2dx + x^3 \cdot 2e^{2x}dx \\ &= (3x^2e^{2x} + 2x^3e^{2x})dx \end{align*}$$

例2 求函数$y=\ln(\sin x^2)$的微分

解：
使用链式法则：

$$\begin{align*} dy &= \frac{1}{\sin x^2} \cdot d(\sin x^2) \\ &= \frac{1}{\sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot d(x^2) \\ &= \frac{\cos x^2}{\sin x^2} \cdot 2x dx \\ &= 2x \cot x^2 \, dx \end{align*}$$

记忆技巧

1. 微分公式与导数公式一一对应，只需在导数结果后加$dx$
2. 乘积/商法则的微分形式比导数形式更对称，建议对比记忆
3. 链式法则中注意中间变量的微分传递

常见错误警示

1. 漏写$dx$（微分必须包含微分变量）
2. 混淆$d(f(x)g(x))$与$df(x) \cdot dg(x)$
3. 链式法则中遗漏中间变量的微分

该内容包含：
1. 完整的微分公式体系
2. 运算法则的微分形式表达
3. 典型计算例题及分步解析
4. 实用记忆方法和易错点提示
5. 使用LaTeX规范排版数学公式