2.1.1 导数的定义

一、导数的基本概念

导数是微积分的核心概念之一，描述函数在某一点处的瞬时变化率。

1. 数学定义

设函数 y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_0 的某个邻域内有定义，当自变量 xx 在 x0x_0 处取得增量 Δx\Delta x 时，若极限

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

存在，则称 f(x)f(x) 在 x0x_0 处可导，并称该极限值为 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的导数。

2. 等价定义形式

  • 增量形式：f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
  • 差分形式：f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

二、导数的物理意义与几何意义

意义类型解释
物理意义瞬时变化率（如瞬时速度、加速度等）
几何意义函数曲线在点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 处切线的斜率

三、单侧导数

  1. 右导数：

    f+′(x0)=lim⁡Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

  2. 左导数：

    f−′(x0)=lim⁡Δx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

可导充要条件：f+′(x0)=f−′(x0)f'_+(x_0) = f'_-(x_0)

四、可导与连续的关系

  1. 定理：若函数在某点可导，则必在该点连续
    • 逆命题不成立（如 f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 x=0x=0 处连续但不可导）
  2. 关系图：
    可导 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在

五、典型例题

例题1（用定义求导）

求 f(x)=x2f(x)=x^2 在 x=1x=1 处的导数。

解：

f′(1)=lim⁡Δx→0(1+Δx)2−12Δx=lim⁡Δx→0(2+Δx)=2f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2

例题2（判断可导性）

讨论 f(x)={x2sin⁡(1/x),x≠00,x=0f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} 在 x=0x=0 处的可导性。

解：

f′(0)=lim⁡x→0x2sin⁡(1/x)−0x=lim⁡x→0xsin⁡(1/x)=0f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0

（利用有界函数与无穷小的乘积性质）

六、常见注意事项

  1. 用定义求导时要注意极限的存在性
  2. 分段函数在分段点处的导数需要用定义计算
  3. 导数不存在的情况包括：
    • 函数在该点不连续
    • 左、右导数不相等
    • 函数在该点出现"尖点"

考研重点提示

  • 掌握用定义求导的方法（常考抽象函数）
  • 理解可导与连续的关系（选择题高频考点）
  • 注意特殊函数（如绝对值函数、分段函数）的可导性分析

该内容包含：
1. 严格遵循数学定义的规范表述
2. 物理/几何意义的直观解释
3. 考研典型题型示例
4. 常见易错点提醒
5. 知识点的逻辑关系梳理
6. 考研复习重点标注
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