1.1.2 初等函数

基本概念

初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成的函数。它们是微积分研究的主要对象，具有明确的解析表达式和良好的分析性质。

五大基本初等函数

1. 幂函数

定义：
y=xay = x^a（a为实数常数）

特性：

  • 定义域随指数a变化
  • a>0时通过(0,0)和(1,1)
  • a<0时通过(1,1)，以坐标轴为渐近线

常见特例：

  • a=1：直线函数
  • a=2：抛物线函数
  • a=-1：反比例函数

2. 指数函数

定义：
y = a^x（a>0且a≠1）

特性：

  • 定义域：R
  • 值域：(0,+∞)
  • 必过点(0,1)
  • a>1时单调递增，0<a<1时单调递减

重要特例：

  • 自然指数函数：y = e^x

3. 对数函数

定义：
y = log_a x（a>0且a≠1）

特性：

  • 定义域：(0,+∞)
  • 值域：R
  • 必过点(1,0)
  • 与指数函数互为反函数

重要公式：

  • 换底公式：log_a b = lnb/lna
  • 自然对数：lnx = log_e x

4. 三角函数

基本三角函数：

  1. 正弦函数 y = sinx
  2. 余弦函数 y = cosx
  3. 正切函数 y = tanx

重要性质：

  • 周期性：sinx/cosx周期2π，tanx周期π
  • 有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1
  • 奇偶性：sinx奇函数，cosx偶函数

5. 反三角函数

主要反三角函数：

  1. 反正弦 y = arcsinx（值域[-π/2,π/2]）
  2. 反余弦 y = arccosx（值域[0,π]）
  3. 反正切 y = arctanx（值域(-π/2,π/2)）

特性：

  • 都是单调函数
  • 与对应三角函数互为反函数

初等函数的复合

通过基本初等函数的复合可以构造更复杂的函数：

  • 例1：y = e^(sinx)
  • 例2：y = ln(arctan√x)

考研重点提示

  1. 熟练掌握各函数的定义域和图形特征
  2. 特别注意复合函数的定义域求解
  3. 重点记忆指数/对数函数的运算性质
  4. 三角函数与反三角函数的转换关系

典型例题

例题1：求函数f(x) = ln(4-x^2) + √(sinx)的定义域

解析： 需要同时满足：

  1. 4-x² > 0 → x∈(-2,2)
  2. sinx ≥ 0 → x∈[2kπ,(2k+1)π], k∈Z 取交集得：x∈(0,2)

例题2：判断函数f(x) = e^x + e^(-x)的奇偶性

解析： f(-x) = e^(-x) + e^x = f(x) → 偶函数

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