8.2.2 幂级数展开

一、基本概念

1. 幂级数展开定义

若函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内可表示为：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$$

则称该表达式为$f(x)$在$x_0$处的幂级数展开（Taylor级数展开）。

2. 展开条件（Taylor定理）

函数$f(x)$在$x_0$处可展开为幂级数的充分条件：

• 在$x_0$的邻域内具有任意阶导数
• 余项$R_n(x) \to 0 \ (n \to \infty)$

二、常用展开方法

1. 直接展开法

步骤：

1. 计算各阶导数$f^{(n)}(x_0)$
2. 写出Taylor系数$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$
3. 验证余项极限$\lim_{n\to\infty}R_n(x) = 0$

示例：$e^x$在$x_0=0$处的展开：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (-\infty < x < +\infty)$$

2. 间接展开法

利用已知展开式通过以下运算得到新展开式：

• 逐项求导/积分
• 变量代换
• 级数加减乘除

常用基础展开式：

三、典型应用

1. 函数近似计算

取前若干项作为近似：

$$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} \quad (\text{当}|x|\text{较小时})$$

2. 极限计算

结合等价无穷小替换：

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{\sin x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2+o(x^2)} = \frac{1}{2}$$

3. 微分方程求解

通过幂级数解法求方程$y''+xy=0$的解： 设$y=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，代入方程确定系数递推关系

四、注意事项

1. 收敛域验证：展开后必须注明收敛范围
2. 唯一性定理：在收敛区间内展开式唯一
3. 端点分析：需单独验证收敛区间端点是否可包含

五、考研真题技巧

1. 分式分解：如$\frac{1}{1+x^2}$通过$x^2$代换得到
2. 逐项积分：由$\frac{1}{1+x}$展开积分得$\ln(1+x)$展开
3. 组合展开：如$e^x\cos x$取实部$Re[e^{(1+i)x}]$

重要结论：所有初等函数在其定义域内均可展开为幂级数（解析函数）

该内容包含：
- 完整的数学公式渲染（支持LaTeX）
- 考研重点标注
- 典型例题方法
- 易错点提醒
- 实用技巧总结
可根据需要进一步补充具体例题或扩展特殊函数的展开方法。