1.2.5 无穷小与无穷大

一、基本概念

1. 无穷小量

定义：若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小量。

性质：

• 有限个无穷小的和/积仍是无穷小
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

2. 无穷大量

定义：若 $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷大量。

常见形式：

• $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
• $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

二、比较关系

1. 无穷小的比较

设 $\alpha, \beta$ 是同一变化过程中的无穷小：

2. 常用等价无穷小（$x\to 0$ 时）

$$\begin{align*} \sin x &\sim x \\ \tan x &\sim x \\ e^x - 1 &\sim x \\ \ln(1+x) &\sim x \\ (1+x)^a - 1 &\sim ax \end{align*}$$

三、运算规则

1. 无穷小的替换原则

在乘除运算中可直接替换等价无穷小，但在加减运算中需谨慎（需满足一定条件）。

错误示例：

$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \neq \lim_{x\to 0} \frac{x - x}{x^3}$$

正确解法：

$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x(1 - \cos x)}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{x \cdot \frac{1}{2}x^2}{x^3} = \frac{1}{2}$$

2. 无穷大比较

• 当 $x\to +\infty$ 时：$\ln x \ll x^n \ll e^x$
• 当 $n\to \infty$ 时：$n! \gg a^n \gg n^k$

四、典型例题

1. 求极限：

   $$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - \cos x}{\ln(1+3x)}$$

   解：使用等价无穷小替换：

   $$\frac{e^{2x} - 1 + 1 - \cos x}{3x} = \frac{2x + \frac{1}{2}x^2}{3x} \to \frac{2}{3}$$

2. 确定无穷小阶数： 判断 $x\to 0$ 时 $f(x) = \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}$ 的阶数
   解：分子有理化后得 $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \sim x$，故为一阶无穷小

五、注意事项

1. 无穷大没有等价代换法则
2. 使用等价无穷小时需保证是整个因式的替换
3. 注意区分"$o$"与"$O$"符号：
   • $f(x) = o(g(x))$ 表示高阶无穷小
   • $f(x) = O(g(x))$ 表示同阶或低阶无穷大

该内容包含：
- 严格数学定义与符号表示
- 比较表格和公式组等结构化呈现
- 典型例题与错误示例
- 实际应用时的注意事项
- 与其他知识点的关联提示（如极限计算）