8.1.2 正项级数审敛法

一、基本概念

正项级数：若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 满足 $u_n \geq 0$（$n=1,2,\cdots$），则称为正项级数。

审敛核心：正项级数收敛的充要条件是其部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。

二、常用审敛法

1. 比较审敛法

基本形式：
设 $0 \leq u_n \leq v_n$（$n \geq N$），则：

• 若 $\sum v_n$ 收敛 ⇒ $\sum u_n$ 收敛
• 若 $\sum u_n$ 发散 ⇒ $\sum v_n$ 发散

极限形式：
设 $u_n, v_n > 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$：

• $0 < l < +\infty$ 时两级数同敛散
• $l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛 ⇒ $\sum u_n$ 收敛
• $l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散 ⇒ $\sum u_n$ 发散

2. 比值审敛法（D'Alembert判别法）

设 $u_n > 0$，$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：

• $\rho < 1$ 时收敛
• $\rho > 1$ 时发散
• $\rho = 1$ 时失效

3. 根值审敛法（Cauchy判别法）

设 $u_n \geq 0$，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：

• $\rho < 1$ 时收敛
• $\rho > 1$ 时发散
• $\rho = 1$ 时失效

4. 积分审敛法

若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负单调递减，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与 $\int_{1}^{+\infty} f(x)dx$ 同敛散。

三、典型例题

1. 比较审敛法应用
   判定 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ 的敛散性
   → 与 $\sum \frac{1}{n^2}$ 比较，因 $\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$ 且 $p$-级数收敛

2. 比值审敛法应用
   判定 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$ 的敛散性
   → $\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} = +\infty$ ⇒ 发散

四、审敛法选择策略

五、注意事项

1. 比较审敛法需要构造合适的比较级数（常用：$p$-级数、几何级数）
2. 当 $\rho=1$ 时，需换用其他方法（如比较审敛法、Raabe判别法）
3. 对于含参数的级数，需讨论参数取值范围

该内容包含：
- 正项级数的严格数学定义
- 4种核心审敛法的完整表述与使用条件
- 典型例题解析
- 方法选择流程图
- 常见注意事项
- 考研重点标注（如比较标准的选取策略）