2.2.3 微分近似计算

一、基本概念

微分近似计算是利用微分进行函数值近似估算的方法，其核心公式为：

f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)⋅Δxf(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x

其中：

  • Δx\Delta x 为自变量的微小变化量
  • f′(x0)f'(x_0) 为函数在x0x_0处的导数

二、原理推导

由微分定义 dy=f′(x)dxdy = f'(x)dx，当 ∣Δx∣|\Delta x| 很小时：

Δy≈dy⇒f(x0+Δx)−f(x0)≈f′(x0)Δx\Delta y \approx dy \Rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x

三、应用步骤

  1. 选择基准点 x0x_0（通常取邻近的易计算点）
  2. 计算 f(x0)f(x_0) 和 f′(x0)f'(x_0)
  3. 确定 Δx\Delta x 的值
  4. 代入近似公式计算

四、典型应用场景

1. 函数值估算

例：估算 4.02\sqrt{4.02}

  • 取 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, x0=4x_0=4, Δx=0.02\Delta x=0.02
  • f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} → f′(4)=0.25f'(4)=0.25
  • 4.02≈2+0.25×0.02=2.005\sqrt{4.02} \approx 2 + 0.25×0.02 = 2.005

2. 误差估计

已知测量误差 Δx\Delta x 时，计算函数值误差：

∣Δy∣≈∣f′(x)∣⋅∣Δx∣|\Delta y| \approx |f'(x)| \cdot |\Delta x|

五、注意事项

  1. 要求 ∣Δx∣|\Delta x| 足够小（通常 < 0.1）
  2. 在导数不连续点附近不适用
  3. 可通过泰勒展开提高精度：

    f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2

六、常见函数近似公式

| 函数表达式 | 近似公式（∣Δx∣≪1|\Delta x| \ll 1） | |------------------|--------------------------------------| | (1+Δx)n(1+\Delta x)^n | 1+nΔx1 + n\Delta x | | eΔxe^{\Delta x} | 1+Δx1 + \Delta x | | sin⁡Δx\sin\Delta x | Δx\Delta x（弧度制） | | ln⁡(1+Δx)\ln(1+\Delta x)| Δx\Delta x |

七、考研真题示例

（2021数学一）设 f(x)=x3f(x)=x^3，用微分近似计算 (2.001)3(2.001)^3： 解：

  • 取 x0=2x_0=2, Δx=0.001\Delta x=0.001
  • f′(x)=3x2f'(x)=3x^2 → f′(2)=12f'(2)=12
  • (2.001)3≈8+12×0.001=8.012(2.001)^3 ≈ 8 + 12×0.001 = 8.012 （精确值：8.012006001，误差仅0.000006001）

该内容包含：
1. 严格的理论基础推导
2. 分步骤的应用指导
3. 典型考研题型示例
4. 实用近似公式总结
5. 注意事项说明
6. 与泰勒展开的关联提示

需要补充其他具体例题或更深入的理论说明可以随时告知。
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