3.1.1 Rolle定理

定理内容

设函数 ( f(x) ) 满足：

  1. 在闭区间 ([a,b]) 上连续
  2. 在开区间 ((a,b)) 内可导
  3. ( f(a) = f(b) )

则在 ((a,b)) 内至少存在一点 (\xi)，使得 ( f'(\xi) = 0 )。

几何解释

在满足条件的函数图像上，至少存在一个水平切线（导数为零的点）。

Rolle定理示意图

证明思路

  1. 根据闭区间连续函数性质，( f(x) ) 在 ([a,b]) 上必有最大值 ( M ) 和最小值 ( m )
  2. 若 ( M = m )：函数为常函数，导数处处为零
  3. 若 ( M \neq m )：由 ( f(a) = f(b) )，极值点必在 ((a,b)) 内取得
  4. 根据费马引理，极值点处导数为零

典型应用

  1. 证明方程根的存在性
  2. 推导其他中值定理（Lagrange中值定理的基础）
  3. 研究函数性质（如单调性、极值）

注意事项

  • 三个条件缺一不可，反例：
    • 不连续：( f(x) = \begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \ 0 & x = 1 \end{cases} ) 在 [0,1] 上
    • 不可导：( f(x) = |x| ) 在 [-1,1] 上
    • 端点值不等：( f(x) = x ) 在 [0,1] 上

考研真题示例

（2021年数学一）设 ( f(x) ) 在 [0,3] 上连续，在 (0,3) 内二阶可导，且 ( f(0) = f(1) = f(2) = f(3) )。证明存在 (\xi \in (0,3)) 使得 ( f''(\xi) = 0 )。

解题思路：

  1. 在 [0,1], [1,2], [2,3] 上分别应用Rolle定理，得到 ( f'(\xi_1) = f'(\xi_2) = f'(\xi_3) = 0 )
  2. 在 ([\xi_1,\xi_2]) 和 ([\xi_2,\xi_3]) 上再次应用Rolle定理
  3. 最终得到 ( f''(\xi) = 0 )

扩展思考

Rolle定理是微分中值定理的最简形式，后续的Lagrange中值定理和Cauchy中值定理都是其推广形式。理解Rolle定理有助于掌握更一般的微分中值理论体系。


该内容包含：
1. 定理的标准表述
2. 可视化辅助理解
3. 严谨的证明逻辑
4. 实际应用场景
5. 注意事项和反例
6. 考研真题分析
7. 知识体系中的定位说明

符合考研数学复习的深度要求，同时保持了Markdown格式的规范性。需要补充示意图时，可使用在线绘图工具生成或引用合适的图片资源。
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