4.1.2 基本积分表

一、基本积分公式

以下为最常用的基本积分公式（C为任意常数）：

  1. 幂函数积分

    ∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

    ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

  2. 指数函数积分

    ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

    ∫axdx=axln⁡a+C(a>0,a≠1)\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a\neq1)

  3. 三角函数积分

    ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C

    ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C

    ∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2 x dx = \tan x + C

    ∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x dx = -\cot x + C

    ∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\int \sec x \tan x dx = \sec x + C

    ∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C

  4. 反三角函数积分

    ∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C

    ∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C

二、积分公式的扩展形式

  1. 含线性项的积分

    ∫(ax+b)ndx=(ax+b)n+1a(n+1)+C(n≠−1)\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \quad (n \neq -1)

    ∫1ax+bdx=1aln⁡∣ax+b∣+C\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C

  2. 复合函数积分

    ∫ekxdx=1kekx+C\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C

    ∫sin⁡(kx)dx=−1kcos⁡(kx)+C\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C

三、特殊积分公式

  1. 双曲函数积分

    ∫sinh⁡xdx=cosh⁡x+C\int \sinh x dx = \cosh x + C

    ∫cosh⁡xdx=sinh⁡x+C\int \cosh x dx = \sinh x + C

  2. 分式积分

    ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C

    ∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C

四、记忆技巧

  1. 导数逆推法：所有基本积分公式均可通过求导验证
  2. 分类记忆法：按函数类型（幂函数/指数函数/三角函数）分组记忆
  3. 对称记忆法：注意三角函数积分中sin/cos、sec/csc的符号对称性

五、典型例题

  1. 计算 ∫(3x2+2ex−sin⁡x)dx\int (3x^2 + 2e^x - \sin x) dx

    = x^3 + 2e^x + \cos x + C

  2. 计算 ∫23x+1dx\int \frac{2}{3x+1} dx

    = \frac{2}{3}\ln|3x+1| + C

注：实际解题时需结合换元积分法、分部积分法等技巧，基本积分表是进行复杂积分计算的基础。


该内容包含：
1. 完整的标准积分公式表
2. 公式的扩展形式
3. 记忆方法和应用技巧
4. 典型计算例题
5. 格式采用规范的Markdown数学公式语法（$$包裹公式）
6. 保持与考研大纲要求的深度和广度一致
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