3.2.2 Taylor公式

一、基本概念

1. Taylor公式的定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，则在 $x_0$ 邻域内可表示为：

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)

其中 $R_n(x)$ 为余项。

2. 常见形式

带Peano余项： $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$
带Lagrange余项： $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ （ $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）

二、常用展开式

函数	展开式	收敛域
$e^x$	$\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$	$(-\infty, +\infty)$
$\sin x$	$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$	$(-\infty, +\infty)$
$\cos x$	$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$	$(-\infty, +\infty)$
$\ln(1+x)$	$\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k}$	$(-1, 1]$

三、应用方法

1. 直接展开法

通过计算各阶导数进行展开：

计算 $f^{(k)}(x_0)$
代入Taylor公式
确定余项形式

2. 间接展开法

利用已知展开式通过：

变量替换
逐项积分/求导
四则运算

四、典型应用场景

函数近似计算
例：用三阶Taylor多项式近似 $\sqrt[3]{1.02}$
极限计算
例： $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$
不等式证明
例：证明 $x-\frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x$ （ $x>0$ ）

五、考研重点题型

求指定点的Taylor展开式
利用Taylor公式求高阶导数
估计Taylor多项式逼近误差
结合中值定理的综合证明题

六、注意事项

展开点选择原则：
- 通常选在函数性质明确的点（如 $x_0=0$ ）
- 使 $(x-x_0)$ 尽可能小以提高精度
余项估计：
- 证明题常用Lagrange余项
- 计算题常用Peano余项
收敛性验证：
- 对于无穷级数形式需验证收敛域
- 实际计算时需根据精度要求选择展开阶数

考研提示：Taylor公式是解决函数局部性质问题的核心工具，在证明题、计算题中均有高频考查，需熟练掌握不同余项形式的应用场景。