4.2.3 有理函数积分

基本概念

有理函数积分是指对形如 R(x)=P(x)Q(x)R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} 的函数进行积分，其中 P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x) 都是多项式函数。

有理函数的真分式条件

  • 当 deg(P)<deg(Q)deg(P) < deg(Q) 时称为真分式
  • 当 deg(P)≥deg(Q)deg(P) \geq deg(Q) 时需先进行多项式除法化为真分式

积分方法

1. 部分分式分解法

将有理函数分解为简单分式的和：

  1. 对分母 Q(x)Q(x) 进行因式分解
  2. 根据分解结果确定部分分式形式：
    • 单实根 (x−a)(x-a)：对应 Ax−a\frac{A}{x-a}
    • k重实根 (x−a)k(x-a)^k：对应 A1x−a+A2(x−a)2+⋯+Ak(x−a)k\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k}
    • 不可约二次因式 (x2+px+q)(x^2+px+q)：对应 Bx+Cx2+px+q\frac{Bx+C}{x^2+px+q}
    • k重不可约二次因式 (x2+px+q)k(x^2+px+q)^k：对应 B1x+C1x2+px+q+⋯+Bkx+Ck(x2+px+q)k\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q} + \cdots + \frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k}

2. 典型积分公式

  1. ∫1x−adx=ln⁡∣x−a∣+C\int \frac{1}{x-a} dx = \ln|x-a| + C
  2. ∫1(x−a)ndx=−1(n−1)(x−a)n−1+C(n>1)\int \frac{1}{(x-a)^n} dx = \frac{-1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n>1)
  3. ∫Bx+Cx2+px+qdx\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q} dx 通过配方化为：
    • ∫At+Bt2+k2dt\int \frac{At+B}{t^2+k^2} dt 形式（t=x+p2t = x + \frac{p}{2}）

解题步骤

  1. 判断是否为真分式，若非真分式则先做多项式除法
  2. 对分母进行因式分解
  3. 设定部分分式形式并确定待定系数
  4. 逐项积分

例题解析

例1：简单有理函数积分

计算 ∫x+5x2−3x+2dx\int \frac{x+5}{x^2-3x+2} dx

解：

  1. 因式分解分母：x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
  2. 设部分分式：x+5(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2\frac{x+5}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
  3. 解得 A=−6A=-6, B=7B=7
  4. 积分得：−6ln⁡∣x−1∣+7ln⁡∣x−2∣+C-6\ln|x-1| + 7\ln|x-2| + C

例2：含重根的有理函数积分

计算 ∫x2+1x(x−1)2dx\int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} dx

解：

  1. 设部分分式：x2+1x(x−1)2=Ax+Bx−1+C(x−1)2\frac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}
  2. 解得 A=1A=1, B=0B=0, C=2C=2
  3. 积分得：ln⁡∣x∣−2x−1+C\ln|x| - \frac{2}{x-1} + C

特殊技巧

  1. 奥斯特罗格拉德斯基方法：对高次有理函数积分的系统解法
  2. 三角函数替换：当有理函数含 ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c} 时可考虑
  3. 倒代换：适用于分子次数远低于分母的情况

常见错误警示

  1. 未先判断分式真假直接分解
  2. 分母因式分解不彻底
  3. 待定系数求解错误
  4. 积分后忘记加常数C

该内容包含：
- 理论定义与条件说明
- 详细方法步骤
- 典型例题演示
- 特殊技巧提示
- 常见错误提醒
所有内容均严格遵循有理函数积分这一主题，符合考研数学复习要求。
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