6.2.2 高阶偏导数

基本概念

高阶偏导数是指对多元函数多次求偏导得到的导数。设函数 $z = f(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义：

1. 二阶偏导数：对一阶偏导数再次求偏导

   • $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}$
   • $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{xy}$
   • $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{yx}$
   • $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}$

2. n阶偏导数：对 $n-1$ 阶偏导数继续求偏导

混合偏导数定理

若函数 $z = f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则：

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

计算方法

1. 逐次求导法：

   • 先对第一个变量求偏导，再对第二个变量求偏导
   • 示例：求 $f(x,y) = x^3y^2 + e^{xy}$ 的二阶偏导数

     \begin{aligned}
     f_x &= 3x^2y^2 + ye^{xy} \\
     f_{xy} &= 6x^2y + e^{xy} + xye^{xy}
     \end{aligned}
     

2. 莱布尼茨法则（适用于乘积函数）：

   $$\frac{\partial^n (uv)}{\partial x^n} = \sum_{k=0}^n C_n^k \frac{\partial^k u}{\partial x^k} \frac{\partial^{n-k} v}{\partial x^{n-k}}$$

典型例题

1. 计算 $f(x,y) = \sin(xy)$ 的所有二阶偏导数

   \begin{aligned}
   f_x &= y\cos(xy) \\
   f_y &= x\cos(xy) \\
   f_{xx} &= -y^2\sin(xy) \\
   f_{xy} &= \cos(xy) - xy\sin(xy) \\
   f_{yx} &= \cos(xy) - xy\sin(xy) \\
   f_{yy} &= -x^2\sin(xy)
   \end{aligned}
   

2. 验证函数 $u = \ln\sqrt{x^2 + y^2}$ 满足 Laplace 方程：

   $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

注意事项

1. 求导顺序影响结果（当混合偏导数不连续时）
2. 注意符号表示：
   • $f_{xyy} = \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}$
3. 对三元及以上函数同理可定义高阶偏导

应用场景

1. 泰勒展开：多元函数的泰勒公式需要高阶偏导
2. 极值判定：Hessian矩阵由二阶偏导构成
3. 偏微分方程：如热传导方程 $\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

该内容包含：
- 严格数学定义与表示方法
- 关键定理及其条件说明
- 分步骤的计算方法
- 典型例题演示
- 实际应用场景
- 易错点提示
符合考研数学的深度要求，同时保持逻辑清晰的结构化呈现。