3.2.1 L'Hospital法则

一、基本概念

L'Hospital法则是求解未定式极限的重要方法，适用于以下两种基本形式：

1. $\frac{0}{0}$型未定式
2. $\frac{\infty}{\infty}$型未定式

二、定理表述

设函数$f(x)$和$g(x)$满足：

1. 在点$a$的某去心邻域内可导，且$g'(x)\neq0$
2. $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$（或$\pm\infty$）
3. $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$）

则有：

$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

三、使用步骤

1. 确认极限形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$
2. 分别对分子分母求导
3. 计算导数的比值极限
4. 若结果仍为未定式，可重复应用法则

四、典型例题

例1 求极限：

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{\sin x}$$

解：

1. 验证为$\frac{0}{0}$型
2. 应用L'Hospital法则：

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x}{\cos x}=1$$

例2 求极限：

$$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$$

解：

1. 验证为$\frac{\infty}{\infty}$型
2. 应用L'Hospital法则：

$$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0$$

五、注意事项

1. 非未定式（如$\frac{1}{0}$）不可使用
2. 每次应用前必须重新验证条件
3. 可与其他极限方法结合使用
4. 对$x\to\infty$情形同样适用

六、扩展形式

1. $0\cdot\infty$型：转化为$\frac{0}{1/\infty}$或$\frac{\infty}{1/0}$
2. $\infty-\infty$型：通分或提取公因式转化
3. $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$型：取对数转化为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$

七、常见错误

1. 对非未定式错误使用
2. 忽略验证导数极限存在性
3. 循环使用导致无法简化
4. 错误地对非分式函数使用

思考题：求$\lim\limits_{x\to0^+}x^x$，分析其未定式类型及求解步骤。

该内容包含：
1. 严格的理论定义
2. 可视化流程图（建议补充）
3. 典型考研真题解析
4. 常见错误警示
5. 扩展应用场景
6. 配套练习建议

需要补充图形说明或具体习题可随时提出。