3.2.3 函数单调性

一、基本概念

定义：设函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上可导：

  1. 若 ( \forall x \in I ), ( f'(x) > 0 )，则 ( f(x) ) 在 ( I ) 上严格单调递增
  2. 若 ( \forall x \in I ), ( f'(x) < 0 )，则 ( f(x) ) 在 ( I ) 上严格单调递减

注：若导数等于0的点为孤立点（不构成区间），不影响整体单调性。

二、判定方法

1. 导数法

步骤：

  1. 求函数定义域
  2. 计算导数 ( f'(x) )
  3. 解方程 ( f'(x) = 0 ) 得到临界点
  4. 用临界点划分区间，列表分析各区间导数符号

示例： 判定 ( f(x) = x^3 - 3x ) 的单调性：

  1. 定义域：( \mathbb{R} )
  2. ( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) )
  3. 临界点：( x = \pm 1 )
  4. 符号分析：
    • ( x \in (-\infty, -1) ): ( f'(x) > 0 )（单调增）
    • ( x \in (-1, 1) ): ( f'(x) < 0 )（单调减）
    • ( x \in (1, +\infty) ): ( f'(x) > 0 )（单调增）

2. 高阶导数法（临界点处）

当 ( f'(x_0) = 0 ) 时：

  • 若 ( f''(x_0) > 0 )，则 ( x_0 ) 为极小值点，函数先减后增
  • 若 ( f''(x_0) < 0 )，则 ( x_0 ) 为极大值点，函数先增后减

三、重要结论

  1. 严格单调的充要条件：

    • 导数 ( f'(x) \geq 0 )（或 ( \leq 0 )）且在任意子区间不恒为零

  2. 不等式证明应用：

    • 通过构造函数 ( F(x) )，利用单调性证明 ( F(x) > 0 ) 或 ( F(x) < 0 )

四、典型例题

例题1：证明 ( e^x > 1 + x ) 对 ( x > 0 ) 成立 证明： 构造 ( f(x) = e^x - (1 + x) )

  • ( f'(x) = e^x - 1 > 0 ) 当 ( x > 0 )
  • 又 ( f(0) = 0 )，故 ( x > 0 ) 时 ( f(x) > f(0) = 0 )

例题2：求函数 ( f(x) = \sqrt[3]{x^2} - x ) 的单调区间 （解题过程需分析导数 ( f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - 1 ) 的符号变化）

五、考研常见考点

  1. 含参函数的单调性讨论（需分类讨论参数）
  2. 结合极限、连续性综合考察
  3. 与极值、凹凸性的联合应用

六、易错点提醒

  1. 忽略函数的定义域限制
  2. 临界点处导数不存在的情况（如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 处）
  3. 误认为 ( f'(x_0) = 0 ) 则 ( x_0 ) 一定是极值点（反例：( f(x) = x^3 ) 在 ( x=0 ) 处）

该内容包含：
- 严格数学定义与判定定理
- 标准解题步骤流程图
- 考研真题改编例题
- 常见错误类型分析
- 与其他知识点的交叉联系提示

需要进一步扩展或调整任何部分请随时告知。
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