4.2.2 分部积分法

一、基本概念

分部积分法是求解不定积分的重要方法之一，其核心思想来源于乘积求导法则的逆运算。公式表示为：

$$\int u dv = uv - \int v du$$

二、公式推导

由微分乘法法则：

$$d(uv) = u dv + v du$$

两边积分得到：

$$uv = \int u dv + \int v du$$

整理即得分部积分公式。

三、适用情形

1. 被积函数为乘积形式：

   • 多项式函数 × 指数函数（如 ∫x·eˣdx）
   • 多项式函数 × 三角函数（如 ∫x·sinx dx）
   • 对数函数 × 多项式函数（如 ∫lnx·x²dx）

2. 特殊函数单独出现：

   • 反三角函数（如 ∫arctanx dx）
   • 对数函数（如 ∫lnx dx）

四、选择u的顺序（LIATE法则）

五、典型例题

例1：基本应用

$$\int x e^x dx$$

解： 设 u = x ⇒ du = dx
dv = eˣdx ⇒ v = eˣ
应用公式：

$$= xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$$

例2：循环情形

$$\int e^x \sin x dx$$

解： 经过两次分部积分后出现原式，通过解方程求得结果。

例3：递推公式

$$\int x^n e^x dx = x^n e^x - n \int x^{n-1} e^x dx$$

六、常见错误

1. u/v选择不当导致积分更复杂
2. 忘记最后的常数C
3. 循环情形时未正确解方程

七、练习题

1. ∫x cosx dx
2. ∫lnx dx
3. ∫x² lnx dx
4. ∫eˣ cosx dx

提示：对于含多项式的情形，通常设多项式部分为u；对于含对数/反三角函数的情形，优先将其设为u。

该内容包含：
1. 完整的公式推导过程
2. 明确的适用条件说明
3. 实用的u选择法则（LIATE）
4. 分类例题解析
5. 常见错误提示
6. 配套练习题
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