4.1.1 原函数与不定积分

一、原函数的概念

1. 定义

设函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上有定义，若存在函数 ( F(x) )，使得对于任意 ( x \in I ) 都有： [ F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)dx ] 则称 ( F(x) ) 为 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上的一个原函数。

2. 存在性定理

若函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上连续，则 ( f(x) ) 在 ( I ) 上一定存在原函数。

3. 原函数族性质

若 ( F(x) ) 是 ( f(x) ) 的一个原函数，则：

  • ( F(x) + C )（( C ) 为任意常数）也是 ( f(x) ) 的原函数
  • ( f(x) ) 的任意两个原函数之间相差一个常数

二、不定积分的定义

1. 数学表达

函数 ( f(x) ) 的全体原函数称为 ( f(x) ) 的不定积分，记作： [ \int f(x)dx = F(x) + C ] 其中：

  • ( \int ) 为积分号
  • ( f(x) ) 为被积函数
  • ( f(x)dx ) 为被积表达式
  • ( C ) 为积分常数

2. 几何意义

不定积分表示一簇平行曲线，这些曲线在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。

三、基本性质

  1. 线性性质： [ \int [k_1f(x) \pm k_2g(x)]dx = k_1\int f(x)dx \pm k_2\int g(x)dx ]

  2. 微分与积分互逆： [ \frac{d}{dx}\left( \int f(x)dx \right) = f(x) ] [ \int F'(x)dx = F(x) + C ]

四、重要说明

  1. 不定积分的结果必须包含任意常数 ( C )
  2. 不同积分方法的计算结果可能形式不同，但可通过求导验证正确性
  3. 初等函数的原函数不一定是初等函数（如 ( e^{-x^2} )）

五、典型例题

例题1（基础题）

求不定积分：( \int (3x^2 + 2\sin x - e^x)dx )

解： [ \int (3x^2 + 2\sin x - e^x)dx = x^3 - 2\cos x - e^x + C ]

例题2（概念题）

验证 ( F(x) = \ln|x| ) 是 ( f(x) = \frac{1}{x} ) 在 ( (-\infty,0) \cup (0,+\infty) ) 上的原函数。

验证： 当 ( x > 0 ) 时，( F'(x) = \frac{1}{x} )； 当 ( x < 0 ) 时，设 ( x = -t )，则： [ F(x) = \ln(-x) \Rightarrow F'(x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} ] 故得证。

六、常见错误警示

  1. 遗漏积分常数 ( C )
  2. 错误应用积分公式（如 ( \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C ) 而非 ( \ln x + C )）
  3. 混淆微分与积分运算顺序

该内容包含：
1. 严格的理论定义和数学表达
2. 几何解释和性质说明
3. 典型例题及分步解析
4. 常见错误提示
5. 使用LaTeX公式保证专业性
6. 层次分明的Markdown结构
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