9.1.1 可分离变量方程

一、基本概念

可分离变量方程是一阶微分方程中最简单的类型，其标准形式为：

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

特点：方程两边可以分别表示为只含$x$和只含$y$的函数的乘积。

二、求解步骤

1. 分离变量
   将方程改写为：

   $$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$

   要求$g(y) \neq 0$

2. 两边积分

   $$\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C$$

3. 求通解
   计算积分后得到隐式通解$G(y) = F(x) + C$，若可能则解出显式解$y = \varphi(x,C)$

三、典型例题

例题1 求解方程 $\frac{dy}{dx} = 2xy$
解：

1. 分离变量：$\frac{dy}{y} = 2x dx$
2. 积分：$\ln|y| = x^2 + C_1$
3. 通解：$y = Ce^{x^2}$（其中$C = \pm e^{C_1}$）

例题2 求解初值问题 $\frac{dy}{dx} = \frac{y\cos x}{1+2y^2}, y(0)=1$
解：

1. 分离变量：$\frac{1+2y^2}{y}dy = \cos x dx$
2. 积分：$\ln|y| + y^2 = \sin x + C$
3. 代入初值得$C=1$，故特解为$\ln y + y^2 = \sin x + 1$

四、注意事项

1. 解的完整性：当$g(y_0)=0$时，$y=y_0$可能是方程的奇解
2. 定义域限制：需保证分母不为零
3. 绝对值处理：对数积分时注意绝对值，最终解可合并常数项

五、应用场景

1. 人口增长模型
2. 放射性衰变问题
3. 牛顿冷却定律

六、常见错误

1. 未验证$g(y)=0$的情况
2. 积分后遗漏常数$C$
3. 错误地将$\int \frac{1}{y}dy$写成$\ln y$而忽略绝对值

该内容包含完整的理论说明、求解步骤、典型例题和注意事项，适合考研系统复习使用。如需补充具体应用例题或更详细的解题技巧，可以进一步扩展。