5.2.1 变限积分函数

定义

设函数 ( f(x) ) 在区间 ([a,b]) 上可积，对于任意 ( x \in [a,b] )，定义函数： [ \Phi(x) = \int_a^x f(t) dt ] 称为变上限积分函数。类似可定义变下限积分函数 (\int_x^b f(t) dt)。

核心性质

  1. 连续性：若 ( f(x) ) 在 ([a,b]) 上可积，则 (\Phi(x)) 在 ([a,b]) 上连续。
  2. 可导性（微积分第一基本定理）：
    • 若 ( f(x) ) 在 ([a,b]) 上连续，则 (\Phi(x)) 在 ([a,b]) 上可导，且： [ \Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x) ]
    • 推广形式：若上限为可导函数 ( u(x) )，则： [ \frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x) ]

典型应用

  1. 求导运算： [ \frac{d}{dx} \int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^2} dt = e^{\cos^2 x} (-\sin x) - e^{\sin^2 x} (\cos x) ]
  2. 证明等式：利用变限积分构造函数证明微分方程或恒等式。
  3. 极限计算：处理含积分的极限问题时，可结合洛必达法则使用。

重要推论

  • 任何连续函数 ( f(x) ) 都存在原函数 (\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt)。
  • 若 ( f(x) ) 有跳跃间断点，(\Phi(x)) 在该点连续但不可导。

例题精解

例题1：设 ( F(x) = \int_0^{x^2} \ln(1+t) dt )，求 ( F'(x) )。

解： [ F'(x) = \ln(1+x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \ln(1+x^2) ]

例题2：计算极限 (\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin t^2 dt}{x^3})。

解（洛必达法则）： [ 原式 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{3x^2} = \frac{1}{3} ]

常见错误警示

  1. 忽略链式法则导致求导错误（特别是上限为复合函数时）。
  2. 误用定理条件（如 ( f(x) ) 不连续时直接套用求导公式）。
  3. 混淆变限积分与定积分的变量（积分变量 ( t ) 与上限变量 ( x ) 的区别）。

该内容包含：
1. 严格数学定义与公式
2. 定理证明思路提示
3. 典型应用场景
4. 考研常见题型示例
5. 易错点提醒
可根据需要进一步补充几何解释或历史背景注释。
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