2.1.2 导数的几何意义

一、核心概念

导数的几何意义描述的是函数在某一点处的瞬时变化率在几何图形上的表现，具体表现为：

  1. 切线斜率
    函数f(x)f(x)在点x0x_0处的导数f′(x0)f'(x_0)表示曲线y=f(x)y=f(x)在该点处切线的斜率
    k=lim⁡Δx→0ΔyΔx=f′(x0)\boxed{k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)}

  2. 切线方程
    已知切点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))和斜率f′(x0)f'(x_0)，可得切线方程：
    y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)\boxed{y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)}

二、几何图示

graph LR
    A[曲线y=f(x)] --> B[点P(x₀,f(x₀))]
    B --> C[割线PQ]
    C --> D[当Q→P时,割线→切线]
    D --> E[切线斜率=f'(x₀)]

三、典型应用场景

  1. 求切线/法线方程

    • 切线方程：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)
    • 法线方程：y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0)(f′(x0)≠0)y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\quad (f'(x_0)\neq 0)

  2. 判断函数形态

    • f′(x0)>0f'(x_0)>0 → 曲线在该点上升
    • f′(x0)<0f'(x_0)<0 → 曲线在该点下降
    • f′(x0)=0f'(x_0)=0 → 可能为极值点或驻点

  3. 物理意义转化

    • 位移-时间函数的导数表示瞬时速度
    • 速度-时间函数的导数表示瞬时加速度

四、常见题型解析

题型1：已知函数求切线

例题：求曲线y=x3y=x^3在点(1,1)(1,1)处的切线方程
解：

  1. 求导：y′=3x2y'=3x^2
  2. 计算斜率：k=y′(1)=3k=y'(1)=3
  3. 写方程：y−1=3(x−1)y-1=3(x-1) → y=3x−2y=3x-2

题型2：已知切线反求参数

例题：若直线y=4x+by=4x+b是曲线y=x2+3y=x^2+3的切线，求bb
解：

  1. 设切点x0x_0，则4=2x04=2x_0 → x0=2x_0=2
  2. 切点(2,7)(2,7)在直线上：7=4×2+b7=4×2+b → b=−1b=-1

五、易错点警示

  1. 区分割线与切线

    • 割线斜率：f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
    • 切线斜率：lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

  2. 垂直切线特殊情况
    当f′(x0)f'(x_0)不存在且为无穷大时，切线为垂直线x=x0x=x_0

  3. 参数方程情形
    对于{x=x(t)y=y(t)\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}，切线斜率dydx=y′(t)x′(t)\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}

六、考研真题点睛

【2023数学一】曲线y=ln⁡(1+e−x)y=\ln(1+e^{-x})的渐近线方程为______
关键步骤：通过导数分析曲线在x→+∞x\to +\infty和x→−∞x\to -\infty时的变化趋势，结合极限计算可得水平渐近线y=0y=0和y=1y=1。

注：本知识点常与函数图像分析、极值问题等结合考查，建议配合导数的物理意义进行对比学习。

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