3.2.5 函数凹凸性

一、基本概念

1. 凹函数（Concave Up）

设函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上连续，若对任意 ( x_1, x_2 \in I ) 和 ( \lambda \in (0,1) ) 有： [ f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) ] 几何意义：曲线上任意两点连线位于曲线之上。

2. 凸函数（Concave Down）

若不等式方向相反： [ f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) ] 几何意义：曲线上任意两点连线位于曲线之下。

二、判别方法

1. 二阶导数判别法

设 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上二阶可导：

  • 若 ( f''(x) > 0 ) 恒成立 → 凹函数
  • 若 ( f''(x) < 0 ) 恒成立 → 凸函数

2. 拐点判定

若 ( f''(x_0) = 0 ) 或 ( f''(x_0) ) 不存在，且 ( f''(x) ) 在 ( x_0 ) 两侧变号，则 ( (x_0, f(x_0)) ) 为拐点。

三、典型例题

例1：判断函数凹凸性

求 ( f(x) = x^3 - 3x^2 ) 的凹凸区间及拐点。

解：

  1. 求二阶导数： [ f'(x) = 3x^2 - 6x ] [ f''(x) = 6x - 6 ]
  2. 解 ( f''(x) = 0 ) 得 ( x = 1 )
  3. 列表分析：
    ( x ) 区间( f''(x) ) 符号凹凸性
    ( (-\infty,1) )-凸
    ( (1,+\infty) )+凹
  4. 拐点：( (1, -2) )

四、应用场景

  1. 优化问题：凸函数保证局部极小即全局极小
  2. 经济学：效用函数的凹凸性反映风险偏好
  3. 工程学：材料受力分析中的应力-应变曲线

五、常见误区

  1. 混淆凹凸性定义（不同教材可能采用相反定义）
  2. 忽略二阶导数不存在的点
  3. 误判拐点位置（需同时验证函数值）

记忆技巧：二阶导数正→开口向上如"碗"（凹），负→开口向下如"帽"（凸）

Last Updated::