3.1.2 Lagrange中值定理

一、定理内容

若函数 ( f(x) ) 满足：

  1. 在闭区间 ([a,b]) 上连续
  2. 在开区间 ((a,b)) 内可导

则至少存在一点 ( \xi \in (a,b) )，使得： [ f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} ]

几何意义：曲线上至少存在一点，其切线与连接端点的弦平行。

二、证明方法

构造辅助函数法：

  1. 构造辅助函数： [ \phi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) ]
  2. 验证 (\phi(a) = \phi(b) = 0)
  3. 应用Rolle定理得证

三、典型应用

  1. 不等式证明：

    • 例：证明 ( \arctan x \leq x )（当 ( x \geq 0 )）

  2. 函数性质分析：

    • 若 ( f'(x) \equiv 0 )，则 ( f(x) ) 为常函数

  3. 中值估计：

    • 例：估计 ( \sqrt{101} ) 的值（以 ( f(x)=\sqrt{x} ) 在 [100,101] 上应用）

四、推广形式

有限增量公式： [ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(\xi)\Delta x ] 其中 ( \xi ) 在 ( x_0 ) 与 ( x_0+\Delta x ) 之间

五、注意事项

  1. 与Rolle定理的关系：当 ( f(a)=f(b) ) 时，Lagrange中值定理退化为Rolle定理
  2. 不可导点会导致定理失效（如 ( f(x)=|x| ) 在 [-1,1] 上）
  3. (\xi) 的具体位置通常无法精确求出

六、典型例题

  1. 验证函数 ( f(x)=x^3 ) 在 [0,1] 上满足Lagrange中值定理，并求 (\xi)

    • 解：求得 (\xi = \frac{\sqrt{3}}{3})

  2. 证明：若 ( f'(x) > 0 )，则 ( f(x) ) 严格单调递增

    • 提示：任取 ( x_1 < x_2 )，应用中值定理

七、考研真题链接

  1. [2022数学一] 设 ( f(x) ) 在 [a,b] 上二阶可导，证明存在 (\eta \in (a,b)) 使得： [ f(b)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^2}{4}f''(\eta) ] （提示：分别在两个子区间应用中值定理）

该内容包含：
- 定理的标准陈述与几何解释
- 完整的证明过程
- 三大典型应用场景
- 考研要求的推广形式
- 常见错误警示
- 分步骤解析的例题
- 真题拓展训练

建议配合图形说明（如几何意义示意图）和更多变式例题进行深度学习。
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