7.2.1 三重积分概念

一、定义与几何意义

1. 三重积分的定义

设函数 ( f(x,y,z) ) 在空间有界闭区域 ( \Omega ) 上有界，将 ( \Omega ) 任意分割成 ( n ) 个小区域 ( \Delta v_1, \Delta v_2, \dots, \Delta v_n )，在每个小区域上任取一点 ( (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) )，若极限 [ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i ] 存在且与分割方式和取点无关，则称此极限为 ( f(x,y,z) ) 在 ( \Omega ) 上的三重积分，记作： [ \iiint_\Omega f(x,y,z) , dv ]

2. 几何意义

  • 当 ( f(x,y,z) \equiv 1 ) 时，三重积分表示区域 ( \Omega ) 的体积
  • 当 ( f(x,y,z) ) 表示密度函数时，三重积分表示物体的质量

二、存在性条件

三重积分存在的充分条件：

  1. 被积函数 ( f(x,y,z) ) 在 ( \Omega ) 上连续
  2. 或 ( f(x,y,z) ) 在 ( \Omega ) 上有界且间断点组成零体积集

三、基本性质

三重积分具有与二重积分类似的性质：

  1. 线性性质： [ \iiint_\Omega [\alpha f + \beta g] , dv = \alpha \iiint_\Omega f , dv + \beta \iiint_\Omega g , dv ]
  2. 区域可加性： [ \Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2 \Rightarrow \iiint_\Omega f , dv = \iiint_{\Omega_1} f , dv + \iiint_{\Omega_2} f , dv ]
  3. 保号性：若 ( f \geq 0 )，则 ( \iiint_\Omega f , dv \geq 0 )
  4. 估值定理： [ m \cdot V \leq \iiint_\Omega f , dv \leq M \cdot V ] 其中 ( m, M ) 为 ( f ) 在 ( \Omega ) 上的最小、最大值，( V ) 为 ( \Omega ) 的体积

四、常见坐标系下的表示

1. 直角坐标系

体积微元： [ dv = dx,dy,dz ]

2. 柱坐标系

变量替换： [ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z ] 体积微元： [ dv = r,dr,d\theta,dz ]

3. 球坐标系

变量替换： [ x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\varphi ] 体积微元： [ dv = \rho^2 \sin\varphi , d\rho, d\varphi, d\theta ]

五、典型例题

例1（直角坐标系）

计算 ( \iiint_\Omega z , dxdydz )，其中 ( \Omega ) 由平面 ( z=0 ), ( z=y ), ( y=1 ) 及柱面 ( y=x^2 ) 围成

解题步骤：

  1. 确定积分区域投影到 ( xy )-平面为 ( -1 \leq x \leq 1 ), ( x^2 \leq y \leq 1 )
  2. 写出累次积分： [ \int_{-1}^1 dx \int_{x^2}^1 dy \int_0^y z , dz ]
  3. 逐层计算（具体计算过程略）

例2（球坐标系）

计算 ( \iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2+z^2} , dv )，其中 ( \Omega ) 为球体 ( x^2+y^2+z^2 \leq R^2 )

解题步骤：

  1. 采用球坐标变换
  2. 积分限：( 0 \leq \rho \leq R ), ( 0 \leq \varphi \leq \pi ), ( 0 \leq \theta \leq 2\pi )
  3. 被积函数简化为 ( \rho \cdot \rho^2 \sin\varphi )
  4. 最终积分： [ \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\varphi \int_0^R \rho^3 \sin\varphi , d\rho ]

## 扩展思考
1. 三重积分与物理应用的关联（如质心、转动惯量计算）
2. 不同坐标系选择的策略：当被积函数或积分区域具有何种对称性时优先考虑柱坐标/球坐标？
3. 比较三重积分与二重积分在计算思想上的异同
Last Updated::