6.3.1 全微分概念

定义

设函数 ( z = f(x,y) ) 在点 ( (x_0,y_0) ) 的某邻域内有定义，若存在常数 ( A,B ) 使得函数的增量可表示为： [ \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho) ] 其中 ( \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} )，则称函数在点 ( (x_0,y_0) ) 处可微，线性主部 ( A\Delta x + B\Delta y ) 称为函数的全微分，记作： [ dz = A dx + B dy ]

核心要点

  1. 几何意义
    全微分表示函数曲面在点 ( (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) ) 处切平面的竖坐标增量。

  2. 与偏导数的关系
    若函数可微，则： [ A = \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|{(x_0,y_0)}, \quad B = \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|{(x_0,y_0)} ] 全微分公式可写为： [ dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy ]

  3. 可微的充分条件
    若函数在点 ( (x_0,y_0) ) 处偏导数连续，则函数在该点可微。

典型例题

例题1
求函数 ( z = e^{x^2+y^2} ) 在点 ( (1,1) ) 处的全微分。

解：

  1. 计算偏导数： [ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xe^{x^2+y^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2ye^{x^2+y^2} ]
  2. 在点 ( (1,1) ) 处： [ \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|{(1,1)} = 2e^2, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|{(1,1)} = 2e^2 ]
  3. 全微分为： [ dz = 2e^2 dx + 2e^2 dy ]

注意事项

  1. 可微必连续，且偏导数存在，但偏导数存在不一定可微
  2. 验证可微性时，需检查极限： [ \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - (f_x\Delta x + f_y\Delta y)}{\rho} = 0 ]
  3. 全微分可用于近似计算： [ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \approx f(x_0,y_0) + dz ]

常见误区

  • 混淆"偏导数连续"与"可微"的关系
  • 忽略全微分定义中高阶无穷小项 ( o(\rho) ) 的验证
  • 错误扩展一元函数微分公式到多元情形（如链式法则不同）

注：本内容已按照考研数学大纲要求编写，包含定义、几何解释、计算方法和典型例题，适合作为系统性复习材料。建议配合可视化工具（如3D函数绘图）理解几何意义。
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