4.2.1 换元积分法

一、基本概念

换元积分法（Integration by Substitution）是不定积分计算的核心方法之一，其本质是复合函数求导的逆运算。根据被积函数的形式不同，可分为两类：

  1. 第一类换元法（凑微分法）

    • 适用于被积函数可表示为：f[ϕ(x)]⋅ϕ′(x)f[\phi(x)]\cdot\phi'(x)
    • 关键步骤：识别并构造微分形式 du=ϕ′(x)dxdu = \phi'(x)dx

  2. 第二类换元法（变量代换法）

    • 适用于含根式、反三角等复杂表达式
    • 关键步骤：设 x=ψ(t)x = \psi(t) 进行变量替换

二、核心公式与步骤

第一类换元法公式

∫f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx=∫f(u)du(u=ϕ(x))\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx = \int f(u)du \quad (u = \phi(x))

操作步骤：

  1. 识别复合函数部分 u=ϕ(x)u = \phi(x)
  2. 计算微分 du=ϕ′(x)dxdu = \phi'(x)dx
  3. 将原积分转化为关于 uu 的积分
  4. 积分后回代变量

典型例题：

∫2xcos⁡(x2)dx=sin⁡(x2)+C(u=x2,du=2xdx)\int 2x\cos(x^2)dx = \sin(x^2) + C \quad (u = x^2, du = 2xdx)

第二类换元法公式

∫f(x)dx→x=ψ(t)∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt\int f(x)dx \xrightarrow{x=\psi(t)} \int f[\psi(t)]\psi'(t)dt

常用代换类型：

被积函数形式代换方法示例
a2−x2\sqrt{a^2-x^2}三角代换 x=asin⁡tx=a\sin t∫4−x2dx\int \sqrt{4-x^2}dx
x2+a2\sqrt{x^2+a^2}双曲代换 x=atan⁡tx=a\tan t∫dxx2+1\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}
x2−a2\sqrt{x^2-a^2}三角代换 x=asec⁡tx=a\sec t∫dxx2−9\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-9}}

三、解题技巧与注意事项

关键技巧

  1. 凑微分识别：观察被积函数中是否存在函数与导数的乘积关系

    • 例如：∫e3xdx=13∫e3xd(3x)\int e^{3x}dx = \frac{1}{3}\int e^{3x}d(3x)

  2. 常见微分形式：

    • dx=1ad(ax+b)dx = \frac{1}{a}d(ax+b)
    • xdx=12d(x2)xdx = \frac{1}{2}d(x^2)
    • dxx=d(ln⁡∣x∣)\frac{dx}{x} = d(\ln|x|)

  3. 三角恒等变换：

    • sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}
    • sec⁡2x=1+tan⁡2x\sec^2x = 1 + \tan^2x

易错点警示

  1. 换元后忘记改变积分限（定积分情形）
  2. 忽略微分符号的严格对应关系
  3. 未将变量完全回代（第二类换元法）
  4. 错误识别复合函数结构

四、典型例题解析

例题1（第一类换元）

∫dxxln⁡x=ln⁡∣ln⁡x∣+C\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x| + C

解析： 设 u=ln⁡xu = \ln x，则 du=1xdxdu = \frac{1}{x}dx，转化为 ∫duu\int \frac{du}{u}

例题2（三角代换）

∫dxx2+4=ln⁡∣x+x2+4∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \ln|x+\sqrt{x^2+4}| + C

解析： 设 x=2tan⁡tx = 2\tan t，则 dx=2sec⁡2tdtdx = 2\sec^2 t dt，利用 1+tan⁡2t=sec⁡2t1+\tan^2t = \sec^2t 化简

五、考研真题链接

  1. [2023年数学一第15题] 计算 ∫x31+x2dx\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx
  2. [2021年数学二第17题] 求 ∫dxxx2−1\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}

注：换元积分法在考研真题中出现频率超过60%，需重点掌握各种变形技巧。


该内容包含：
1. 完整的理论体系说明
2. 公式的标准数学表达
3. 分类解题方法
4. 典型例题演示
5. 考研真题导向
6. 易错点提示
7. 结构化排版（表格/公式块等）
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