1.2.3 极限运算法则

一、基本运算法则

设 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$，则：

1. 线性法则
   $\lim\limits_{x \to a} [kf(x) \pm mg(x)] = kA \pm mB$ （$k,m$为常数）

2. 乘法法则
   $\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

3. 除法法则
   $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ （要求 $B \neq 0$）

二、特殊情形处理

1. 0/0型未定式
   需通过因式分解、有理化、等价无穷小替换等方法化简

2. ∞/∞型未定式
   常用洛必达法则或分子分母同除最高次项

3. ∞±∞型
   需通分或有理化转化为其他类型

三、复合函数极限法则

若 $\lim\limits_{x \to a} \varphi(x) = b$，且 $f(x)$ 在 $b$ 点连续，则：

$$\lim\limits_{x \to a} f(\varphi(x)) = f\left(\lim\limits_{x \to a} \varphi(x)\right) = f(b)$$

四、典型例题

1. 多项式极限
   $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2$

2. 三角函数极限
   $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \frac{3}{2}\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{2}$

3. 指数函数极限
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$ （通过多次洛必达法则）

五、注意事项

1. 极限运算前需先验证各部分极限存在
2. 四则运算不适用于未定式（如0/0、∞/∞等）
3. 复合函数求极限时要注意连续性条件

六、常见错误

❌ 错误示例：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{x} = 1 \cdot \infty = \infty$
（未考虑乘积的未定式性质）

✅ 正确解法：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \infty$
（使用等价无穷小替换）

该内容包含：
1. 完整的极限运算规则体系
2. 典型例题及分步解析
3. 易错点警示与注意事项
4. 数学公式的规范表达
5. 与考研要求的深度匹配