6.1.1 多元函数概念

一、定义

多元函数是指自变量为两个或两个以上的函数，记作：

  • 二元函数：$ z = f(x,y) $
  • n元函数：$ y = f(x_1,x_2,...,x_n) $

二、基本概念

  1. 定义域
    所有使函数有意义的自变量取值集合。例如：

    • $ f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2} $ 的定义域为 $ x^2 + y^2 \leq 1 $

  2. 几何表示

    • 二元函数的图像是三维空间中的曲面
    • 可通过等高线（Level Curves）表示函数值相同的点集

  3. 邻域

    • 点 $ P_0(x_0,y_0) $ 的δ邻域：$ {(x,y) | \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < δ} $

三、特殊类型函数

类型定义示例
有界函数存在 $ M>0 $ 使 $ |f(P)| \leq M $$ \sin(xy) $
齐次函数$ f(tx,ty) = t^k f(x,y) $$ x^2 + xy $（k=2）
对称函数变量交换后函数不变$ f(x,y) = x^2 + y^2 $

四、与一元函数的区别

  1. 定义域复杂性：多元函数定义域可能是平面区域、空间区域
  2. 极限存在条件：要求所有路径趋近结果相同
  3. 连续性：需满足 $ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0) $

典型例题

  1. 求函数 $ f(x,y) = \frac{1}{\ln(4-x^2-y^2)} $ 的定义域
    解：需同时满足：

    • $ 4-x^2-y^2 > 0 $ → $ x^2 + y^2 < 4 $
    • $ \ln(4-x^2-y^2) \neq 0 $ → $ x^2 + y^2 \neq 3 $
      ∴ 定义域为 $ {(x,y) | 0 \leq x^2 + y^2 <4 且 x^2 + y^2 \neq 3} $

  2. 判断 $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $ 在原点处的连续性
    解：沿路径 $ y=kx $ 趋近时极限为 $ \frac{k}{1+k^2} $，与k有关 → 不连续


该内容包含：
1. 严格数学定义与表示方法
2. 可视化说明（几何表示）
3. 对比表格呈现特殊函数类型
4. 与一元函数的对比分析
5. 典型例题及分步解析
6. Markdown格式的数学公式和表格排版
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