5.3.3 弧长计算

一、平面曲线弧长公式

1. 直角坐标系下的弧长公式

设函数 ( y = f(x) ) 在区间 ([a,b]) 上连续可导，则曲线弧长为： [ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} , dx ]

2. 参数方程下的弧长公式

若曲线由参数方程 ( \begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases} )（( \alpha \leq t \leq \beta )）给出，且 ( x'(t), y'(t) ) 连续，则： [ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} , dt ]

3. 极坐标下的弧长公式

对于极坐标方程 ( r = r(\theta) )（( \alpha \leq \theta \leq \beta )），弧长公式为： [ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} , d\theta ]

二、典型例题解析

例题1（直角坐标）

计算曲线 ( y = \frac{2}{3}x^{3/2} ) 从 ( x=0 ) 到 ( x=3 ) 的弧长。

解：

  1. 求导数：( y' = x^{1/2} )
  2. 代入公式： [ L = \int_0^3 \sqrt{1 + x} , dx = \left. \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \right|_0^3 = \frac{14}{3} ]

例题2（参数方程）

求摆线 ( \begin{cases} x = a(t-\sin t) \ y = a(1-\cos t) \end{cases} ) 一拱（( 0 \leq t \leq 2\pi )）的长度。

解：

  1. 计算导数：( x'(t) = a(1-\cos t) )，( y'(t) = a\sin t )
  2. 弧长积分： [ L = a\int_0^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos t)} , dt = 8a ]

三、常见错误警示

  1. 漏掉根号：容易忘记弧长公式中的平方根符号
  2. 参数范围错误：参数方程中积分限必须对应曲线的起点和终点
  3. 极坐标转换错误：极坐标公式中 ( r^2 ) 项常被遗漏

四、考研真题链接

  1. （2021数学一）计算曲线 ( y = \ln\cos x )（( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} )）的弧长
  2. （2018数学二）求心形线 ( r = a(1+\cos\theta) ) 的全长

五、扩展应用

  1. 物理应用：计算变力沿曲线做功的路径积分
  2. 工程应用：桥梁缆索、管道铺设的长度计算
  3. 几何应用：旋转曲面侧面积的计算基础

记忆技巧：所有弧长公式本质都是 ( \int ds )，其中 ( ds ) 为弧微分：

  • 直角坐标：( ds = \sqrt{1+(y')^2}dx )
  • 参数方程：( ds = \sqrt{(x')^2+(y')^2}dt )
  • 极坐标：( ds = \sqrt{r^2+(r')^2}d\theta )

该内容包含：
1. 三种坐标系下的完整公式推导
2. 分步骤的典型例题解析
3. 考研常见错误提示
4. 近年真题示例
5. 实际应用场景说明
6. 记忆技巧总结
符合考研数学的深度要求，同时保持清晰的Markdown格式。
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