6.1.3 多元函数连续

一、多元函数连续的定义

设二元函数 ( z = f(x,y) ) 在点 ( P_0(x_0,y_0) ) 的某邻域内有定义，若满足： [ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0) ] 则称函数 ( f ) 在点 ( P_0 ) 连续。

n元函数推广： 对于 ( n ) 元函数 ( f(P) )，若 ( \lim_{P\to P_0} f(P) = f(P_0) )，则称 ( f ) 在 ( P_0 ) 连续。

二、连续性的判定方法

  1. 路径检验法：

    • 若存在两条不同路径使极限值不同，则函数在该点不连续
    • 典型反例：( f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} )

  2. ε-δ定义： ∀ε>0, ∃δ>0，当 ( \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} < δ ) 时，有 ( |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<ε )

三、连续函数的性质

  1. 局部有界性：在连续点附近函数有界
  2. 保号性：若 ( f(P_0)>0 )，则存在邻域 ( U(P_0) ) 使 ( f(P)>0 )
  3. 四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
  4. 复合函数连续性：连续函数的复合函数仍连续

四、多元初等函数的连续性

  1. 多元多项式函数在全空间连续
  2. 多元有理函数在其定义域内连续
  3. 基本初等函数经过有限次四则运算和复合得到的多元初等函数在其定义域内连续

五、间断点类型

  1. 可去间断点：极限存在但不等于函数值
  2. 跳跃间断点：沿不同路径极限值不同
  3. 本质间断点：极限不存在

典型例题

例题1：讨论函数 ( f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \ 1, & (x,y)=(0,0) \end{cases} ) 在原点处的连续性。

解： 利用极坐标变换： [ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \lim_{r\to0} \frac{\sin r^2}{r^2} = 1 = f(0,0) ] 故函数在原点连续。

考研重点提示

  1. 连续性与偏导数存在性的关系（连续不一定可微）
  2. 利用连续性求极限（特别是复合函数情形）
  3. 讨论分段函数在分界点的连续性

该内容包含：
- 严格数学定义与判定方法
- 典型反例分析
- 考研常见考点标注
- 解题示范
- 性质定理的完整表述
格式符合Markdown规范，数学公式采用LaTeX语法。
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