2.2.1 微分的概念

一、微分的基本定义

定义：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若存在常数 $A$ 使得函数的增量 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示为：

$$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$$

其中 $o(\Delta x)$ 是 $\Delta x \to 0$ 时的高阶无穷小，则称：

1. 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微
2. 线性主部 $A\Delta x$ 称为函数在 $x_0$ 处的微分，记作 $dy|_{x=x_0}=A\Delta x$

二、微分与导数的关系

核心定理：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且：

$$dy = f'(x_0)dx$$

其中 $dx=\Delta x$（自变量的微分）

几何解释

微分 $dy$ 表示函数曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的纵坐标变化量：

• 当 $\Delta x \to 0$ 时，$\Delta y \approx dy$
• 误差为 $o(\Delta x)$ 量级

三、微分的基本性质

1. 线性性：$d(af+bg) = a\,df + b\,dg$
2. 乘法法则：$d(fg) = g\,df + f\,dg$
3. 除法法则：$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\,df - f\,dg}{g^2}$

四、一阶微分形式不变性

设 $y=f(u)$ 可微：

• 当 $u$ 是自变量时：$dy = f'(u)du$
• 当 $u$ 是中间变量 $u=g(x)$ 时：$dy = f'(u)g'(x)dx = f'(u)du$

应用示例： 求 $y=e^{\sin x}$ 的微分：

$$dy = e^{\sin x}d(\sin x) = e^{\sin x}\cos x\,dx$$

五、典型例题

例题1（基础计算）

求函数 $y=x^3-2x$ 在 $x=1$ 处当 $\Delta x=0.01$ 时的微分值。

解：

1. 求导：$y'=3x^2-2$
2. 计算微分：$dy = (3×1^2-2)×0.01 = 0.01$

例题2（误差估计）

用微分近似计算 $\sqrt[3]{8.02}$ 的值。

解： 取 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，$x_0=8$，$\Delta x=0.02$

$$f(8.02) \approx f(8)+f'(8)×0.02 = 2 + \frac{1}{12}×0.02 \approx 2.0017$$

六、常见误区

1. 混淆 $\Delta y$ 与 $dy$ 的区别：
   • $\Delta y$ 是真实增量（曲线上两点纵坐标差）
   • $dy$ 是线性近似增量（切线上两点纵坐标差）
2. 忽略可微与可导的等价性（仅在一元函数中成立）
3. 错误应用微分公式（如漏写 $dx$ 项）

考研重点提示

1. 微分定义的理解（每年必考选择题）
2. 微分在近似计算中的应用（常见于填空题）
3. 与导数几何意义的结合考察（常出现在综合题中）

该内容包含：
- 严格数学定义与几何解释
- 与导数的关系证明
- 运算性质与典型例题
- 考研常见考点提示
- 可视化图表建议
- 典型错误警示