1.2.2 函数极限

一、基本概念

  1. 函数极限定义（ε-δ语言）：

    • 设函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 的某去心邻域内有定义
    • lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A 当且仅当：

      ∀ε>0,∃δ>0,当 0<∣x−x0∣<δ 时,∣f(x)−A∣<ε\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \text{当 } 0<|x-x_0|<\delta \text{ 时}, |f(x)-A|<\varepsilon

  2. 单侧极限：

    • 左极限：lim⁡x→x0−f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = A
    • 右极限：lim⁡x→x0+f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = A
    • 极限存在充要条件：左右极限存在且相等

二、常见函数极限类型

类型表达式示例
x→x0x \to x_0 型lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0} f(x)lim⁡x→2(3x+1)=7\lim\limits_{x \to 2} (3x+1) = 7
x→∞x \to \infty 型lim⁡x→∞f(x)\lim\limits_{x \to \infty} f(x)lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0
无穷极限型lim⁡x→x0f(x)=∞\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \inftylim⁡x→01x2=+∞\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty

三、重要极限公式

  1. 第一重要极限：

    lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

  2. 第二重要极限：

    lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e

    推广形式：

    lim⁡□→0(1+□)1/□=e\lim\limits_{\Box \to 0} (1+\Box)^{1/\Box} = e

四、计算方法

  1. 直接代入法（连续函数）
  2. 因式分解法（消除零因子）
    • 例：lim⁡x→1x2−1x−1=lim⁡x→1(x+1)=2\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2
  3. 有理化法（根式差）
  4. 等价无穷小替换（仅限乘除）：
    • 当 x→0x \to 0 时：
      • sin⁡x∼x\sin x \sim x
      • tan⁡x∼x\tan x \sim x
      • ex−1∼xe^x -1 \sim x
      • ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim x

五、典型例题

  1. 计算 lim⁡x→0e2x−1sin⁡3x\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}

    \text{解：} \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin 3x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}

  2. 证明 lim⁡x→3(2x+1)=7\lim\limits_{x \to 3} (2x+1) = 7

    \text{证：} \forall \varepsilon>0, \text{取} \delta=\frac{\varepsilon}{2}, \text{当 } 0<|x-3|<\delta \text{ 时} \\
|(2x+1)-7| = 2|x-3| < 2\delta = \varepsilon

六、注意事项

  1. 函数在 x0x_0 处可以无定义
  2. 分段函数在分段点需考察左右极限
  3. 使用等价无穷小替换时需验证条件

该内容包含：
- 严格的形式化定义
- 分类讨论（含表格对比）
- 核心公式突出显示
- 典型解题方法
- 证明示例
- 常见错误提示
符合考研数学的深度要求，同时保持教学系统性。
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