5.2.2 Newton-Leibniz公式

核心概念

Newton-Leibniz公式（微积分基本定理）建立了定积分与不定积分之间的联系，其标准形式为：

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$

其中：

• $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
• $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（即 $F'(x)=f(x)$）

公式推导

1. 变限积分函数：设 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$，则 $\Phi'(x) = f(x)$
2. 原函数关系：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $F(x) = \Phi(x) + C$
3. 定积分计算：

   $$F(b) - F(a) = [\Phi(b)+C] - [\Phi(a)+C] = \int_a^b f(x)dx$$

使用条件

典型应用场景

1. 常规定积分计算：

   \int_0^{\pi/2} \cos x dx = \sin x \big|_{0}^{\pi/2} = 1 - 0 = 1
   

2. 分段函数积分：

   • 需分段寻找原函数
   • 保证各分段点处连续性

3. 含参变量积分：

   \frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t)dt = f(u(x)) \cdot u'(x)
   

常见误区警示

1. 间断函数误用：

   • 错误案例：$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$ 不能直接使用（x=0处间断）

2. 原函数选择不当：

   • 必须保证原函数在积分区间内处处可导

3. 符号混淆：

   • 注意 $F(b)-F(a)$ 的运算顺序，建议使用竖线表示法：

     F(x)\big|_a^b = F(b) - F(a)
     

考研真题拓展

2021年数学一真题： 计算 $\int_0^2 \max\{x, x^2\}dx$

解题步骤：

1. 确定分段点（解 $x=x^2$ 得 $x=0,1$）
2. 分段积分：

   \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 x dx = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6}
   

记忆口诀

"连续函数求积分，找到原函数代边界" "先求导后积分，Newton-Leibniz显神奇"