2.1.4 高阶导数

一、基本概念

高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数：

  • 一阶导数：f′(x)f'(x) 或 dydx\frac{dy}{dx}
  • 二阶导数：f′′(x)f''(x) 或 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}
  • n阶导数：f(n)(x)f^{(n)}(x) 或 dnydxn\frac{d^ny}{dx^n}

二、计算方法

1. 直接逐次求导法

通过连续应用求导法则逐步计算：

f(x)=excos⁡xf′(x)=excos⁡x−exsin⁡xf′′(x)=−2exsin⁡x⋮\begin{aligned} f(x) &= e^x \cos x \\ f'(x) &= e^x \cos x - e^x \sin x \\ f''(x) &= -2e^x \sin x \\ &\vdots \end{aligned}

2. 常见函数的高阶导数公式

函数类型n阶导数公式
幂函数 xmx^mm!(m−n)!xm−n\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} (m≥n)
指数函数 eaxe^{ax}aneaxa^n e^{ax}
正弦函数 sin⁡x\sin xsin⁡(x+nπ2)\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)
对数函数 ln⁡(1+x)\ln(1+x)(−1)n−1(n−1)!(1+x)n(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}

3. Leibniz公式（乘积函数求导）

对于 u(x)v(x)u(x)v(x) 的n阶导数：

(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}

其中 CnkC_n^k 为组合数。

三、典型例题

例题1 求 y=11+xy = \frac{1}{1+x} 的n阶导数
解：

y(n)=(−1)nn!(1+x)n+1y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}

例题2 设 y=x2sin⁡xy = x^2 \sin x，求 y′′y''
解：

y′=2xsin⁡x+x2cos⁡xy′′=2sin⁡x+4xcos⁡x−x2sin⁡x\begin{aligned} y' &= 2x \sin x + x^2 \cos x \\ y'' &= 2\sin x + 4x \cos x - x^2 \sin x \end{aligned}

四、应用场景

  1. Taylor展开：构建多项式逼近函数
  2. 运动学分析：
    • 一阶导数表示速度
    • 二阶导数表示加速度
  3. 微分方程：高阶微分方程求解的基础

五、注意事项

  1. 求导顺序会影响计算复杂度，建议先化简再求导
  2. 注意函数在特殊点的可导性（如分段函数连接点）
  3. 对于复合函数建议使用链式法则逐步求导

六、练习题

  1. 求 f(x)=ln⁡(2x+3)f(x) = \ln(2x+3) 的三阶导数
  2. 用Leibniz公式计算 (x2ex)(4)(x^2 e^x)^{(4)}
  3. 证明 (cos⁡x)(n)=cos⁡(x+nπ2)(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)

提示：练习3可利用数学归纳法证明


该内容包含：
1. 概念定义的数学表达
2. 分类计算方法（含公式表格）
3. 典型分步解答例题
4. 实际应用说明
5. 易错点提醒
6. 分层练习题
符合考研数学的严谨性和系统性要求。
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