2.1.3 求导法则

基本求导法则

  1. 常数法则
    ddx(c)=0\frac{d}{dx}(c) = 0 （cc为常数）

  2. 幂函数法则
    ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} （nn为实数）

  3. 线性性法则
    ddx[af(x)+bg(x)]=addxf(x)+bddxg(x)\frac{d}{dx}[af(x) + bg(x)] = a\frac{d}{dx}f(x) + b\frac{d}{dx}g(x)

四则运算求导法则

运算类型求导公式
和差法则(u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'
乘积法则(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
商法则(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} （v≠0v \neq 0）
倒数法则(1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}

复合函数求导（链式法则）

若y=f(u)y=f(u)且u=g(x)u=g(x)，则：

dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

应用示例：
求导y=sin⁡(x2+1)y = \sin(x^2 + 1)
解：设u=x2+1u = x^2 + 1，则：

dydx=cos⁡(u)⋅2x=2xcos⁡(x2+1)\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot 2x = 2x\cos(x^2 + 1)

反函数求导法则

若函数y=f(x)y=f(x)有反函数x=f−1(y)x=f^{-1}(y)，且f′(x)≠0f'(x) \neq 0，则：

ddyf−1(y)=1f′(x)=1f′(f−1(y))\frac{d}{dy}f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

隐函数求导方法

对方程F(x,y)=0F(x,y)=0确定的隐函数：

  1. 方程两边同时对xx求导
  2. 将含dydx\frac{dy}{dx}的项合并
  3. 解出dydx\frac{dy}{dx}

例题：
求x2+y2=1x^2 + y^2 = 1的导数
解：两边求导得：

2x+2ydydx=0  ⟹  dydx=−xy2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

参数方程求导

对参数方程{x=x(t)y=y(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}：

dydx=dy/dtdx/dt=y′(t)x′(t)\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}

高阶导数求法

通过连续应用求导法则实现：

  • 二阶导数：d2ydx2=ddx(dydx)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
  • Leibniz公式（乘积高阶导）：

    (uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}

常见函数导数表

函数导数公式
exe^xexe^x
axa^xaxln⁡aa^x \ln a
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
tan⁡x\tan xsec⁡2x\sec^2 x
arcsin⁡x\arcsin x11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

重要提示：求导时需注意函数的定义域和可导性条件，分段函数在分段点处需用定义求导。


该内容包含：
1. 系统化的求导法则分类
2. 公式的标准数学表达式
3. 典型应用示例
4. 表格化对比展示
5. 注意事项说明
符合考研数学的深度要求，同时保持逻辑清晰性。
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