7.3.2 第二类曲线积分

一、基本概念

1. 定义

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）表示向量场沿有向曲线的做功问题。设：

• $L$ 为平面/空间有向光滑曲线
• $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}$ 为向量场
• $dr = (dx, dy, dz)$ 为有向曲线微元

则第二类曲线积分表示为：

$$\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L Pdx + Qdy + Rdz$$

2. 物理意义

表示力场$\vec{F}$沿路径$L$所做的功

二、计算方法

1. 参数法（主流方法）

设曲线$L$参数方程为：

$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, \alpha \leq t \leq \beta$$

则计算公式为：

$$\int_L Pdx + Qdy + Rdz = \int_\alpha^\beta \left[P(x(t),y(t),z(t))x'(t) + Q(\cdot)y'(t) + R(\cdot)z'(t)\right]dt$$

2. 直角坐标法（特殊情形）

当曲线可表示为$y=y(x)$时：

$$\int_L Pdx + Qdy = \int_a^b \left[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)\right]dx$$

3. 格林公式（平面闭曲线）

设$D$为平面有界闭区域，$L = \partial D$正向边界：

$$\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

三、重要性质

1. 方向性：$\int_{-L} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$
2. 路径可加性：$\int_{L_1+L_2} = \int_{L_1} + \int_{L_2}$
3. 与第一类积分关系：

   $$\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L \vec{F} \cdot \vec{\tau} ds$$

   其中$\vec{\tau}$为单位切向量

四、典型例题

例题1（直接计算）

计算$\int_L xdy - ydx$，其中$L$为抛物线$y=x^2$从$(0,0)$到$(1,1)$

解： 参数化：取$x$为参数，则

$$\int_L = \int_0^1 [x \cdot (x^2)' - x^2 \cdot 1']dx = \int_0^1 (2x^2 - x^2)dx = \frac{1}{3}$$

例题2（格林公式）

计算$\oint_L (x^2+y^2)dx + (x^2-y^2)dy$，$L$为$y=1-|x|$与$x$轴围成的闭曲线

解： 应用格林公式：

$$\oint_L = \iint_D \left(2x - 2y\right)dxdy = \int_{-1}^1 \int_0^{1-|x|} (2x-2y)dydx = \cdots = -\frac{2}{3}$$

五、注意事项

1. 必须注意积分路径的方向
2. 格林公式应用前提：
   • 闭曲线
   • 正向（逆时针方向）
   • $P,Q$在$D$内具有连续偏导数
3. 当被积函数在积分区域内存在奇点时，需要挖洞处理

六、考研常见题型

1. 直接计算型（占60%）
2. 格林公式应用型（占30%）
3. 与路径无关的积分问题（占10%）

重要结论：当$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$时，积分与路径无关，此时存在势函数$u$使得$du = Pdx + Qdy$