6.4.1 链式法则

一、基本概念

多元复合函数的链式法则（Chain Rule）是多元微分学的核心工具，用于求解复合函数的导数。其本质是将一元函数的求导法则推广到多元情形。

1. 二元函数情形

设函数 z=f(u,v)z = f(u,v)，其中 u=u(x,y)u = u(x,y)，v=v(x,y)v = v(x,y)，则复合函数 z=f(u(x,y),v(x,y))z = f(u(x,y),v(x,y)) 的偏导数为：

∂z∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}

∂z∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

2. 一般形式（树形法则）

对于多层复合函数，可沿变量依赖路径逐项相乘后相加：

∂z∂t=∑i=1n∂z∂xi∂xi∂t\frac{\partial z}{\partial t} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t}

二、典型应用场景

1. 显函数求导

例题：设 z=eusin⁡vz = e^{u}\sin v，u=xyu = xy，v=x+yv = x+y，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}

解：

∂z∂x=eusin⁡v⋅y+eucos⁡v⋅1=exy[ysin⁡(x+y)+cos⁡(x+y)]\frac{\partial z}{\partial x} = e^{u}\sin v \cdot y + e^{u}\cos v \cdot 1 = e^{xy}[y\sin(x+y) + \cos(x+y)]

2. 隐函数求导

当函数关系以方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 给出时，可通过链式法则推导隐函数微分公式：

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}

三、常见错误与注意事项

  1. 变量混淆：明确区分中间变量和最终自变量
  2. 漏项：确保遍历所有可能的依赖路径
  3. 符号错误：注意偏导符号 ∂\partial 和常导符号 dd 的区别

四、考研真题解析

2021年数学一真题： 设 z=f(exsin⁡y,x2+y2)z = f(e^x \sin y, x^2 + y^2)，其中 ff 具有二阶连续偏导数，求 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}

解题步骤：

  1. 设 u=exsin⁡yu = e^x \sin y，v=x2+y2v = x^2 + y^2
  2. 先求一阶偏导：

    ∂z∂x=f1⋅exsin⁡y+f2⋅2x\frac{\partial z}{\partial x} = f_1 \cdot e^x \sin y + f_2 \cdot 2x

  3. 再对 yy 求偏导（注意 f1,f2f_1,f_2 仍是复合函数）：

    ∂2z∂x∂y=(f11excos⁡y+f12⋅2y)exsin⁡y+f1excos⁡y+(f21excos⁡y+f22⋅2y)⋅2x\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (f_{11}e^x \cos y + f_{12} \cdot 2y)e^x \sin y + f_1 e^x \cos y + (f_{21}e^x \cos y + f_{22} \cdot 2y) \cdot 2x

  4. 合并同类项（利用 f12=f21f_{12} = f_{21}）

五、记忆技巧

  1. 路径追踪法：画出变量依赖关系图
  2. 口诀记忆："外导乘内导，路径不遗漏"
  3. 矩阵形式：雅可比矩阵乘法体现链式法则本质

六、扩展阅读

  1. 向量值函数的链式法则
  2. 微分形式不变性与链式法则的关系
  3. 流形上的链式法则（高等微分几何）

该内容包含：
1. 严格的理论定义和公式表达
2. 典型例题及考研真题解析
3. 常见错误提示和记忆技巧
4. 知识扩展方向
5. 采用Latex公式保证准确性
6. 层次分明的Markdown排版
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