9.1.3 线性方程

一、基本概念

一阶线性微分方程的标准形式为：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

其中：

• $P(x)$ 称为系数函数
• $Q(x)$ 称为非齐次项
• 当 $Q(x) \equiv 0$ 时称为齐次方程

二、解法步骤（常数变易法）

1. 解齐次方程

先求解对应的齐次方程：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$$

通过分离变量法得到通解：

$$y_h = Ce^{-\int P(x)dx} \quad (C为常数)$$

2. 常数变易

将常数 $C$ 替换为函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为：

$$y = C(x)e^{-\int P(x)dx}$$

3. 确定 $C(x)$

将假设解代入原方程，得到：

$$C'(x) = Q(x)e^{\int P(x)dx}$$

积分后得：

$$C(x) = \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C$$

4. 写出通解

最终通解为：

$$y = e^{-\int P(x)dx}\left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$$

三、典型例题

例题1：解方程 $\frac{dy}{dx} + 2xy = x$

解：

1. 齐次方程解：$y_h = Ce^{-x^2}$
2. 设 $y = C(x)e^{-x^2}$
3. 代入得 $C'(x) = xe^{x^2}$ ⇒ $C(x) = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$
4. 通解：$y = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}$

四、伯努利方程（拓展）

形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ 的方程，可通过变量代换 $z = y^{1-n}$ 化为线性方程。

五、应用场景

1. RC电路分析
2. 人口增长模型
3. 热传导问题

六、常见错误警示

1. 忘记将 $e^{\int P(x)dx}$ 的积分常数取为0
2. 混淆齐次解和特解的叠加关系
3. 伯努利方程代换时指数计算错误

七、考研真题点睛

【2022年数学一】求 $y' + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}$ 满足 $y(1)=1$ 的特解
关键步骤：积分因子 $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x}dx} = x$

提示：线性方程是微分方程中最基础但最重要的类型，必须熟练掌握常数变易法的完整推导过程，并能快速识别方程类型。

该内容包含：
1. 严格遵循线性方程的知识框架
2. 突出考研需要的解题方法论
3. 包含典型例题和易错点提示
4. 补充了伯努利方程作为拓展
5. 添加了考研真题分析模块
6. 使用LaTeX规范排版数学公式