7.4.2 第二类曲面积分

一、基本概念

1. 定义

第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）表示向量场通过曲面的流量，记作：

$$\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$$

其中：

• $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 为向量场
• $d\mathbf{S} = (dy dz, dz dx, dx dy)$ 为有向曲面微元

2. 物理意义

表示流体以速度场$\mathbf{F}$通过曲面$\Sigma$的净流量（考虑方向）。

二、计算方法

1. 直接投影法

将曲面$\Sigma$投影到坐标平面计算：

1. 投影到$xy$平面：

   $$\iint_\Sigma R dx dy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) dx dy$$

   符号由曲面方向决定（上侧取+，下侧取-）

2. 其他坐标平面同理

2. 参数法

若曲面$\Sigma$有参数方程$\mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$，则：

$$\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F} \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) du dv$$

3. 高斯公式（重要！）

对于封闭曲面$\Sigma$包围的区域$\Omega$：

$$\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx dy dz$$

三、典型例题

例题1（直接投影法）

计算$\iint_\Sigma z dx dy$，其中$\Sigma$为球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧上半部分。

解：

1. 投影区域：$D_{xy} = \{(x,y)|x^2+y^2 \leq 1\}$
2. 曲面方程：$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$
3. 由外侧方向（上侧）：

$$\iint_\Sigma z dx dy = \iint_{D_{xy}} \sqrt{1-x^2-y^2} dx dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \sqrt{1-r^2} r dr = \frac{2\pi}{3}$$

例题2（高斯公式）

计算$\iint_\Sigma x dy dz + y dz dx + z dx dy$，$\Sigma$为立方体$[0,1]^3$表面外侧。

解： 由高斯公式：

$$原式 = \iiint_\Omega (1+1+1) dx dy dz = 3 \times 1 = 3$$

四、注意事项

1. 方向判定：必须明确曲面的侧（法向量方向）
2. 投影选择：优先投影到使投影区域不重叠的坐标平面
3. 奇点处理：当高斯公式应用区域含奇点时，需挖去奇点区域

五、与第一类曲面积分对比

注：两类积分可通过$d\mathbf{S} = \mathbf{n} dS$相互转化，其中$\mathbf{n}$为单位法向量。