5.1.2 定积分性质

基本性质

1. 线性性质
   [ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx ] （其中$\alpha, \beta$为常数）

2. 区间可加性
   [ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx \quad (a < c < b) ]

3. 保号性
   若$f(x) \geq 0$在$[a,b]$上恒成立，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$

比较性质

1. 单调性
   若$f(x) \leq g(x)$在$[a,b]$上恒成立，则： [ \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx ]

2. 绝对值不等式
   [ \left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx ]

估值定理

设$m \leq f(x) \leq M$在$[a,b]$上恒成立，则： [ m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a) ]

积分中值定理

1. 第一中值定理
   若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi \in [a,b]$使得： [ \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a) ]

2. 推广形式
   若$f(x)$连续，$g(x)$可积且不变号，则存在$\xi \in [a,b]$使得： [ \int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx ]

对称区间积分性质

1. 若$f(x)$为偶函数： [ \int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx ]

2. 若$f(x)$为奇函数： [ \int_{-a}^a f(x)dx = 0 ]

周期函数性质

设$f(x)$以$T$为周期，则对任意实数$a$： [ \int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx ]

典型例题

1. 计算题
   利用性质计算： [ \int_{-1}^1 \frac{x^5 \sin x}{1+x^2}dx ] （提示：考察被积函数的奇偶性）

2. 证明题
   证明：若$f(x)$在$[0,1]$上连续，则存在$\xi \in [0,1]$使得： [ \int_0^\xi f(x)dx = \int_\xi^1 f(x)dx ] （提示：构造辅助函数应用连续函数介值定理）

常见误区

1. 混淆定积分与不定积分的性质
2. 忽视积分区间对称性导致计算复杂化
3. 错误应用积分中值定理（需注意连续性条件）

该内容包含：
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- 性质分类清晰（基本性质、比较性质、特殊性质等）
- 典型例题与解题思路
- 常见学习误区提示
- 重要定理的标准表述条件